Рассмотрим две фирмы
Обратные функции: $ p (q) = max \ {a-q, 0 \} $
$ q $ - общий объем производства, а - положительная постоянная.
Это значение принимает два значения: ах = 2 (высокий спрос) и аL = 1 (низкий спрос). Их вероятности равны (1/2) для каждого случая.
Фирма 1 знает значение a, но фирма 2 не знает.
Фирма 1 = действующий
Firm2 = участник
Фирма 1 двигается первой. Фирма 2 наблюдает за производством фирмы 1 $ q_1 $, прежде чем принять решение $ q_2 $, а затем двигается.
Для всех фирм предельные издержки и постоянные издержки равны нулю.
Рассматривая стимул фирмы 1 сигнализировать о состоянии мира, опишите набор разделяющих равновесий.
----
Что я решил:
Случай 1: нет сигнализации
Сначала рассмотрим фирму 2,
$$ \ pi 2 = max [(1/2) (ах-q_1 ^ H-q_2) q_2 + (1/2) (aL-q_1 ^ L-q_2) q_2] $$
По FOC: $$ q_2 ^ * = {3- (q_1 ^ L + q_1 ^ H) \ более 4} $$
Теперь рассмотрим фирму 1. Есть два состояния: ах и ал
Состояние 1: $ a = ah = 2 $
$$ \ pi_1 ^ H = max [(ах-q_2-q_1 ^ H) q_1 ^ H] $$
где $$ q_2 ^ * = {3- (q_1 ^ L + q_1 ^ H) \ более 4} $$
Я вставляю этот $ q_2 $ в целевую функцию максимизации
По ВОК:
$ 5 = 6q_1 ^ H- q_1 ^ L $ $ \ \ $ (уравнение 1)
Состояние 2: $ a = aL = 1 $
$$ \ pi_1 ^ L = max [(aL-q_2-q_1 ^ L) q_1 ^ L] $$
где $$ q_2 ^ * = {3- (q_1 ^ L + q_1 ^ H) \ более 4} $$
Я вставляю этот $ q_2 $ в целевую функцию максимизации.
ВОК:
$ 6q_1 ^ L + q_1 ^ H = 1 $ $ \ \ $ (уравнение 2)
Когда я объединяю уравнения (1) и (2), я получаю, что
$$ q_1 ^ Н + q_1 ^ L = 6/5 $$ И $ q_1 ^ H = 31/35 $ и $ q_1 ^ L = 11/35 $
$$ q_2 ^ * = {3- (6/5) \ over 4} = 9/20 $$
Когда я рассчитываю прибыль
$$ \ pi_2 = 81/400 $$
$$ \ pi_1 ^ л & при 0 $$
Но
$$ \ pi_1 ^ Н & л; 0 $$
Моя первая проблема на данный момент. Почему я получаю $ \ pi_1 ^ H & lt; 0 $ этой прибыли, отрицательное значение. Это неправильно, но я не смог найти свою ошибку.
Случай 2: сигнализация существует
Рассмотрим фирму 2
$$ \ pi_2 = max [(a-q_2-q_1) q_1] $$
По данным FOC, $ q_2 = (1/2) [a-q_1] $
Теперь рассмотрим фирму 1,
$$ \ pi_1 = max [(1/2) (ах-q_1 ^ H-q_2) q_1 ^ H + (1/2) (aL-q_1 ^ L-q_2) q_1 ^ L] $$
S.T.
$ (IC_H): \ $ $ (ах-q_2-q_1 ^ H) q_1 ^ H & gt; (Ах-Q_2-q_1 ^ L) q_1 ^ L $
$ (IC_L): \ $ $ (aL-q_2-q_1 ^ L) q_1 ^ L & gt; (АЛ-Q_2-q_1 ^ H) q_1 ^ H $
$ (PC_H): \ $ $ (ah-q_2-q_1 ^ h) q_2 & gt; 0 $
$ (PC_L): \ $ $ (aL-q_2-q_1 ^ L) q_2 & gt; 0 $
Решения
$ IC_G $ должен держаться, потому что фирма 1 не может отклониться.
$ PC_L $ должно быть ожидающим, потому что фирма 2 не может получить отрицательную прибыль.
$ IC_G $ и $ PC_L $ автоматически удовлетворяют $ PC_G $.
Таким образом, проблема оптимизации становится
$$ \ pi_1 = max [(1/2) (ах-q_1 ^ H-q_2) q_1 ^ H + (1/2) (aL-q_1 ^ L-q_2) q_1 ^ L] $$
S.T.
$ (IC_H): \ $ $ (ах-q_2-q_1 ^ H) q_1 ^ H & gt; (Ах-Q_2-q_1 ^ L) q_1 ^ L $
$ (PC_L): \ $ $ (aL-q_2-q_1 ^ L) q_2 & gt; 0 $
лагранжиан
$ L = [(1/2) (ах-q_1 ^ H-q_2) q_1 ^ Н + (1/2) (ал-q_1 ^ L-q_2) q_1 ^ L] + \ lambda [(ах-q_2-q_1 ^) H) q_1 ^ H- (ах-q_2-q_1 ^ L) q_1 ^ L] + \ mu [(aL-q_2-q_1 ^ L) q_2] $
Focs
(I) $ dL / dq_1 ^ L = 0 $
(II) $ dL / dq_1 ^ H = 0 $
(III) $ dL / d \ lambda \ ge 0 $ и $ (dL / d \ lambda) \ lambda = 0 $ для $ \ lambda \ ge 0 $
(IV) $ dL / d \ mu \ ge 0 $ и $ (dL / d \ mu) \ mu = 0 $ для $ \ mu \ ge 0 $
Должно быть, что $ \ lambda \ ge 0 $ и $ \ mu \ ge 0 $ такие, что ограничения являются обязательными.
По (III) и (IV) $ q_1 ^ H = 2 $ и $ q_1 ^ L = 2 $
моя проблема с сигнализацией case, значения q1 не соответствуют ответам руководства по решению, которое дает только истинное значение Где моя ошибка в мистерии? Я не мог найти свою ошибку. Пожалуйста, дайте мне подсказку.
Я написал свое решение и отметил, что у меня проблемы в желтой рамке. Если нужно больше разъяснений, я сразу что-то добавлю. Пожалуйста, помогите мне. Благодарю.