Какая из аксиом Анскомба-Ауманна подразумевает принцип Sure-Thing?

Рассмотрим установку Анскомба-Ауманна и предположим, что отношение предпочтения удовлетворяет всем исходным аксиомам Анскомба-Ауманна (рациональность, непрерывность, независимость и монотонность).

Если мы ограничим внимание чистыми скачками (то есть действуем без какой-либо объективной неопределенности), модель Анскомба-Ауманна сводится к представлению «Субъективная ожидаемая полезность» в духе Сэвиджа. Следовательно, по сравнению с чистыми скачками человек, принимающий решения, удовлетворяет всем аксиомам Сэвиджа, в частности, принципу верности (P2 в терминологии Сэвиджа).

Я не вижу прямой связи между аксиомами Анскомба-Ауманна и принципом уверенности. Кто-нибудь видит, как аксиомы Анскомба-Ауманна подразумевают принцип уверенности? В частности, это происходит только из-за независимости, или требуется независимость и монотонность?

В качестве первого замечания: аксиомы Анскомба-Ауманна, в частности Независимость, определяются по действиям, переводящим пространство состояний в линейное пространство (обычно простые лотереи по объектам потребления). Даже когда мы рассматриваем ограничение модели чисто субъективно неопределенными действиями, нам все равно необходимо использовать полную модель, иначе мы потеряем информацию.

При этом: пусть - конечное пространство состояний, а - конечный набор альтернатив. Пусть обозначает все лотереи над а является актом. Для события , пусть будет действием, определенным как $S$$X$$\Delta(X)$$X$$f: S \to \Delta(X)$$E \subseteq S$$f_{-E}g$

$$f_{-E}g \begin{cases} f(s) \text{ if } x \in E \\ g(s) \text{ if } x \notin E. \end{cases}$$

Теперь мы можем сказать, что наша модель удовлетворяет принципу верности, если и тогдаЭто определение действительно для всех действий, не только для тех, которые не имеют объективного риска, но, очевидно, вы можете рассмотреть только соответствующий прогноз.$f_{-E}h \succsim g_{-E}h$$f_{-E^c}h \succsim g_{-E^c}h$$f \succsim g.$

Предположим, что предшественник STP. Из и независимости мы получаем, что Обратите внимание, что мы можем переписать это как и, снова применяя независимость, мы получаем $f_{-E}h \succsim g_{-E}h$

$$\frac12 f_{-E}h + \frac12 f_{-E^c}h \succsim \frac12 g_{-E}h + \frac12 f_{-E^c}h.$$ $$\frac12 f + \frac12 h \succsim \frac12 g_{-E}f + \frac12h$$ $$\begin{equation} \tag{1} f \succsim g_{-E}f. \end{equation}$$

Аналогично, из и независимости мы получаем, что Опять же , мы можем переписать в виде и, применяя независимость снова, мы получаем $f_{-E^c}h \succsim g_{-E^c}h$

$$\frac12 f_{-E^c}h + \frac12 g_{-E}h \succsim \frac12 g_{-E^c}h + \frac12 g_{-E}h.$$ $$\frac12 g_{-E}f + \frac12 h \succsim \frac12 g + \frac12h$$ $$\begin{equation} \tag{2} g_{-E}f \succsim g. \end{equation}$$

Объединение (1) и (2) через транзитивность дает желаемые соотношения. Возвращаясь к предварительному замечанию, отметим, что для применения независимости нам необходимо смешивать действия, обращающиеся к объективному риску. Таким образом, даже когда , и имеют объективного риска, нам все равно нужны рискованные действия, чтобы служить посредником в доказательстве. В некотором смысле, это великое понимание всей структуры АА - использование объективного риска, чтобы обойти необходимость бесконечного пространства состояний, используя линейность ожиданий для форсирования STP.$f$$g$$h$

Обратите внимание, что были использованы только независимость и транзитивность. Это должно указывать на то, что даже зависящий от государства ЕС (где монотонность / независимость от государства не удается) или ЕС Бьюли (где полнота ослаблена) все равно будут удовлетворять STP.

---

Отредактируйте в ответ на комментарий: Давайте назовем вышеупомянутое понятие принципа Sure Thing STP1 и скажем, что предпочтение удовлетворяет STP2, если для всех . Тогда, если является предзаказом, он удовлетворяет STP1 тогда и только тогда, когда он удовлетворяет STP2.$f_{-E}h \succsim g_{-E}h \iff f_{-E}h' \succsim g_{-E}h'$$f,g,h,h'$$\succsim$

Сначала предположим, что выполняется STP2 и что и . Тогда по STP2 имеем Транзитивность подразумевает ; STP1 держит.$f_{-E}h \succsim g_{-E}h$$f_{-E^c}h \succsim g_{-E^c}h$

$$f = f_{-E}f \succsim g_{-E}f \qquad \text{ and } \qquad g_{-E}f = f_{-E^c}g \succsim g.$$ $f \succsim g$

Далее предположим, что выполняется STP1 и . Определите и аналогично. По определению поэтому наше предположение идентично тому, что Далее поэтому из рефлексивности предпочтений мы имеем Теперь мы можем применить STP1 к (3) и (4), чтобы получить$f_{-E}h \succsim g_{-E}h$$\hat f = f_{-E}h'$$\hat g$

$$\hat f_{-E}h = f_{-E}h \qquad \text{ and } \qquad \hat g_{-E}h = g_{-E}h,$$ $$\begin{equation} \tag{3} \hat f_{-E}h \succsim \hat g_{-E}h. \end{equation}$$ $\hat f_{-E^c}h = \hat g_{-E^c}h = h'_{-E}h$ $$\begin{equation} \tag{4} \hat f_{-E^c}h \succsim \hat g_{-E^c}h. \end{equation}$$ $\hat f \succsim \hat g$, что, учитывая их определение, именно то, что нам нужно показать для STP2 для хранения.