Функция прибыли: просто максимизация дохода с учетом ограничений? если да, где

Отказ от ответственности: я не знаю, что меня путают с основной теорией микроэкономических продуктов (примечание: я смотрел несколько видео Hak Choi на YouTube), но это мой общий мыслительный процесс.

$$\max\pi=py(x)-wx$$

пусть$y(x)=x^\alpha$

Отсюда следует, что оптимальное из такой формулы:$x^*$

x∗=(

$$\frac{\partial\pi}{\partial x}=p\alpha x^{\alpha-1}-w=0$$ $$x^*=\left(\frac{w}{p\alpha}\right)^{\frac{1}{\alpha-1}}$$

Отсюда следует, что оптимальное$y^*$

$$y^*=\left(\frac{w}{p\alpha}\right)^{\frac{\alpha}{\alpha-1}}$$

---

однако не является ли проблема максимизации прибыли просто проблемой максимизации дохода, на которую накладывается ограничение? s . т . ˉ C ( x ) = w

$$\max py(x)$$ $$s.t.\bar{C}(x)=wx$$

пусть $y(x)=x^\alpha$

Отсюда следует, что наш лагранжиан для этой задачи:

$$L=py(x)+\lambda(\bar{C(x)}-wx)$$

взяв производную нашего лагранжиана по находим ∂ $x$

$$\frac{\partial L}{\partial x}=p\alpha x^{\alpha-1}-\lambda w=0$$

$$x^*=\left(\frac{\lambda w}{p\alpha}\right)^{\frac{1}{\alpha-1}}$$

это следует:

$$y^*=\left(\frac{\lambda w}{p\alpha}\right)^{\frac{\alpha}{\alpha-1}}$$

Я считаю, что между этими двумя проблемами существует большое сходство, и их решения также очень похожи. Исходя из этой причины, я спрашиваю, является ли это подходящим способом решения для максимизирующей прибыль фирмы? если так, что происходит с в функции прибыли?$\lambda$

Проблема может быть истолкована как максимизация выручки при условии ограничения оперативного бюджета. Однако решение этого может отличаться от решения проблемы максимизации прибыли, поскольку затраты не отображаются в целевой функции. Здесь покажет, насколько дополнительный доллар, потраченный на эксплуатационные расходы, увеличит прибыль. Если строго увеличивается по весь бюджет будет потрачен, даже если . Однако при такой низкой потраченный доллар приносит меньше доллара, поэтому его не следует тратить, если целью является максимизация прибыли.

$$\max py(x)$$ $$s.t. wx \leq \bar{C}$$ $\lambda$$y$$x$$\lambda < 1$$\lambda$

На самом деле, если целью является максимизация прибыли, а прибыль уменьшается, то доллары должны быть потрачены именно в том случае, если они заработают хотя бы один доллар.

Если строго возрастает и строго вогнута по и вы устанавливаете на такой уровень, что решение лагранжиана дает , то решение вышеуказанной проблемы также решит проблему максимизации прибыли.$y(x)$$x$$\bar{C}$$\lambda = 1$

Лагранжиан

$$L=py(x) - \lambda(wx - \bar{C})$$

Система уравнений, решающая лагранжиан

$$\begin{align*} pMP(x) -\lambda w & = 0 \\ wx - \bar{C} & = 0 \end{align*}$$

Получив из второго уравнения один и вставив его во второе уравнение$x = \bar{C}/w$

$$\frac{p}{w}MP\left( \bar{C}/w \right) = \lambda.$$

Таким образом, определяет . Если установлен на таком уровне, что то условие первого порядка$\bar{C}$$\lambda$$\bar{C}$$\lambda = 1$

$$pMP(x) -\lambda w = 0$$

становится

$$pMP(x) - w = 0$$

что также можно получить, решив задачу максимизации прибыли без ограничений.