Последовательность равновесия {c (t)}

Так что я в настоящее время застрял на следующей проблеме:

Рассмотрим модель репрезентативного агента, в которой репрезентативный потребитель имеет предпочтения, заданные как где 0 < β < 1 - субъективная скорость предпочтения потребителя по времени, а c t - потребление в момент времени t . Потребитель наделен одной единицей потребления при t = 0 . Товар потребления может храниться бесплатно во времени. То есть потребление при t следует за x t + 1 =

$$\sum_{t=0}^{\infty} \beta^t \ln(c_t)$$ $0<\beta<1$$c_t$$t$$t = 0$$t$ где x t - доступное потребление в начале t, а x 0 = 1 . $$x_{t+1} = x_t - c_t$$ $x_t$$t$$x_0=1$

Решите для равновесной последовательности .$[c_t]_{t=0}^\infty$

Теперь первое, что отталкивает меня от традиционной модели, это то, что досуг полностью отсутствует в предпочтениях потребителя. Затем я переставил, чтобы найти для который виден из x t + 1 = x t - c t x t + 1 - x t = - c t x t - x t + 1 = c t - Δ x t = c t$c_t$

$$x_{t+1} = x_t - c_t$$ $$x_{t+1} - x_t = -c_t$$ $$x_t - x_{t+1} = c_t$$ $$-{\mathit{\Delta}}x_t = c_t,$$ но учитывая отрицательность, суммируем ли мы отрицательные значения?