Тестирование на эндогенность

Я прошу прощения, если этот вопрос является очень основным. У меня есть следующая простая ванильная инструментальная переменная модель.

$ Y = \ альфа + X \ бета + \ varepsilon $

$ X = \ дельта + Z \ гамма + \ ETA $

$ \ varepsilon \ perp \ eta, \ quad Z \ perp \ eta \ quad $ true

Я заинтересован в тестировании $ \ varepsilon \ perp X $, то есть, является ли X допустимым инструментом для первого уравнения (очень неофициально заявлено, можно сказать, что я хочу проверить, является ли $ X $ экзогенным, или мне нужно инструмент $ X $ с $ Z $)

Моя идея такова: оценить модель IV, используя 2SLS или GMM, используя в качестве инструментов и $ X $, и $ Z $, а затем выполнить тест Саргана / Хансена. Я предполагаю, что мощность теста будет зависеть от того, насколько сильно $ Z $ предсказывает $ X $ (то есть от того, насколько релевантен инструмент $ Z $ для $ X $). В 2SLS первая стадия будет идеально подходить, и тест будет в основном проверкой, являются ли остатки OLS ортогональными к $ Z $. Это рассуждение правильно? Является ли тест Саргана / Хансена действительным тестом за $ \ varepsilon \ perp X $?

(Я) Я думаю, что ваша идея имеет смысл. Под нулем $ [X, Z] $ ортогонально $ \ varepsilon $. Согласно альтернативе, $ X $ соотносится с $ \ varepsilon $. (ii) Ваше утверждение о том, что это «в основном проверка того, являются ли остатки OLS ортогональными $ Z $», является именно тем, что я думаю. (iii) Ваша мысль о силе в зависимости от релевантности $ Z $ также имеет смысл. Если $ Z $ не имеет значения, то для любого $ \ beta $ справедливо ограничение момента $ E [Z_i '(y_i - \ alpha - X_i \ beta)] = 0 $ (из-за некоррелированности $ Z_i $ и $ X_i $ ) поэтому остатки OLS должны казаться некоррелированными с приборами, хотя оценка OLS противоречива. Я думаю, что этот тест тесно связан со стандартными методами, описанными ниже, хотя я не делал выводов в этом отношении.

(iv) Как вы знаете, существуют методы учебника для проверки эндогенности. Stata реализует некоторые. Увидеть help ivregress postestimation, Ты увидишь estat endogenous там. Там для оценки 2SLS можно сравнить OLS и 2SLS; или $ y $ регрессирует на $ [X, \ hat {\ eta}] $, после чего проверяется статистическая значимость $ \ hat \ eta $.

Я посмотрел немного больше в этом, и я думаю, что нашел подтверждение моего подозрения в этой статье, которая описывает команду ivreg2 в STATA. Я не сверхтехнический эконометрик, но, насколько я понимаю, это можно сделать с помощью опции orthog (), и при определенных условиях это эквивалентно критерию Хаусмана.

http://www.stata-journal.com/sjpdf.html?articlenum=st0030_3

Одним из преимуществ проведения теста в качестве теста Саргана, который оказался полезным для моей работы, является то, что, если вы самостоятельно внедрите модель в STATA с использованием механизма GMM, вы сможете выполнить ее, даже если у вас меньше инструментов, чем эндогенных переменных (это потому, что вы выполняете тест под нулевым значением, что предположительно эндогенная переменная на самом деле является экзогенной)