Может ли седловая дорожка не пройти происхождение в модели Рамси?

В моем случае функция полезности - CEIS и дискретная, производственная функция - , бюджетное ограничение - . Я использую матрицу Якоби и факторизацию Шура, чтобы получить линеаризованную функцию политики для потребления, поэтому я могу построить седловую дорожку и неустойчивые руки. В конце они выглядят так, как показано ниже. Тем не менее, я прочитал, что седловая дорожка должна проходить через начало координат, что неправильно в моем сюжете. $f(k_{t})=k_{t}^\alpha$ $f(k_{t})+(1-\delta)k_{t}=c_{t} + k_{t+1}$

Поэтому мой вопрос: всегда ли путь седловины проходит через начало координат?

economic-growth rbc balanced-growth

— user68863
источник

Какую служебную функцию вы используете?

— Каверак

вот это:

U = \sum_{t}^{\infty} β^{t} (\frac{c_{t}^{1 - γ}}{1 - γ} - 1)

$U=\sum_{t}^{\infty} \beta^{t} \bigg( \frac{c_{t}^{1-\gamma}}{1-\gamma} -1 \bigg)$

— user68863

γ = 2

$\gamma=2$

β = 0.9964

$\beta=0.9964$

α = 0.36

$\alpha = 0.36$

δ = 0.025

$\delta = 0.025$

Я предполагаю, что вы уже прошли алгебру ниже, но для контекста проблема, которую вы пытаетесь решить,

\begin{matrix} (1) & max_{c} \sum_{t = 0}^{+ \infty} β^{t} u (c_{t}) s.t. f (k_{t}) + (1 - δ) k_{t} = c_{t} + k_{t + 1} \end{matrix}

$\max_{c}\sum_{t=0}^{+\infty}\beta^t u(c_t) \\ \text{s.t.}~~ f(k_t) + (1- \delta)k_t = c_t + k_{t+1} \tag{1}$

$f(k_t) = k_t^\alpha$

\begin{matrix} (2) & u (c_{t}) = \frac{c_{t}^{1 - γ}}{1 - γ} - 1 \end{matrix}

$u(c_t) = \frac{c_t^{1-\gamma}}{1-\gamma} - 1 \tag{2}$

Задача в (1) может быть сведена к двум связанным уравнениям

\begin{array}{rcl} u^{'} (c_{t}) & = & β [1 + f^{'} (k_{t + 1}) - δ] u^{'} (c_{t + 1}) \\ (3) & k_{t + 1} & = & f (k_{t}) + (1 - δ) k_{t} - c_{t} \end{array}

$\begin{eqnarray} u'(c_t) &=& \beta[1 + f'(k_{t+1}) - \delta]u'(c_{t+1}) \\ k_{t+1} &=& f(k_t) + (1-\delta)k_t - c_t \tag{3} \end{eqnarray}$

$u'(x) = x^{-\gamma}$ $f'(x) = \alpha x^{\alpha-1}$ $c_{t+1}$ $(k_t,c_t)$

\begin{array}{rcl} c_{t + 1} & = & β^{1 / γ} c_{t} [1 + α [k_{t}^{α} + (1 - δ) k_{t} - c_{t}]^{α - 1} - δ]^{1 / γ} \\ (4) & k_{t + 1} & = & f (k_{t}) + (1 - δ) k_{t} - c_{t} \end{array}

$\begin{eqnarray} c_{t+1} &=& \beta^{1/\gamma}c_t [1 + \alpha[k_t^\alpha + (1-\delta)k_t - c_t]^{\alpha-1} - \delta]^{1/\gamma} \\ k_{t+1} &=& f(k_t) + (1-\delta)k_t - c_t \tag{4} \end{eqnarray}$

Который может быть выражен как

\begin{matrix} (5) & x_{t + 1} = F (x_{t}) with x_{t} = (\begin{matrix} c_{t} \\ k_{t} \end{matrix}) \end{matrix}

${\bf x}_{t+1} = {\bf F}({\bf x}_{t})~~~\mbox{with}~~~ {\bf x}_t = \left(\begin{array}{c}c_{t}\\k_{t}\end{array}\right) \tag{5}$

${\bf x}^*$ ${\bf F}$

\begin{matrix} (6) & x^{*} = F (x^{*}) \end{matrix}

${\bf x}^* = {\bf F}({\bf x}^*) \tag{6}$

$\gamma=2$ $\beta=0.9964$ $\alpha=0.36$ $\delta=0.025$

\begin{matrix} (7) & x^{*} = (\begin{matrix} c^{*} \\ k^{*} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2.84829 \\ 52.2808 \end{matrix}) \end{matrix}

${\bf x}^* = \left(\begin{array}{c}c^*\\k^*\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}2.84829\\52.2808\end{array}\right) \tag{7}$

${\bf F}$ ${\bf x}^*$

\begin{matrix} (8) & y_{t + 1} = J y_{t} where y_{t} = x_{t} - x^{*}, J = {\frac{\partial J}{\partial x} |}_{x = x^{*}} \end{matrix}

${\bf y}_{t+1} = {\bf J}{\bf y}_t ~~~\mbox{where}~~~ {\bf y}_t = {\bf x}_{t} - {\bf x}^*, ~~~ {\bf J} = \left.\frac{\partial{\bf J}}{\partial {\bf x}}\right|_{{\bf x} = {\bf x}^*} \tag{8}$

${\bf y} = 0$

— caverac
источник

спасибо @caverac! Я сделал то же самое, и седловая тропа действительно проходит через точку устойчивого состояния, но она просто не проходит через начало координат, чего я не знаю почему. Седловина должна пройти через начало пути, верно?

— user68863

y_{t + 1} = J y_{t}

${\bf y}_{t+1} = J {\bf y}_t$

x = 0

${\bf x}=0$

спасибо !, так что я сделал правильно. но можем ли мы преобразовать эту линеаризованную функцию политики в нечто вогнутое? мой учитель сказал, что седловая дорожка должна выглядеть как локус столицы (синяя линия).

— user68863

x^{*}

${\bf x}^*$

J

$J$

благодарю вас! единственная проблема сейчас заключается в том, что область под седловидной дорожкой должна иметь расходящиеся дорожки, идущие направо, но когда я пробую некоторые начальные точки очень близко к седловой дорожке (но все еще в области под ней), я получаю идущие расходящиеся дорожки к северо-западу. я использовал интеграцию Bakward, как описано в этой ссылке: ch.mathworks.com/company/newsletters/articles/… Я знаю, что ode45 - это непрерывное время, а в моем случае это дискретное время. но даже при этом не должно быть проблем с расходящимся путем?

— user68863