Преобразование Утилиты Кобба Дугласа

Итак, мне нужно определить, имеет ли те же предпочтения, что . Какие уловки я могу использовать здесь? Я сделал логарифмическое преобразование, так что теперь у меня есть . Я предполагаю, что если я умножу их на я получу и тем самым докажу, что u и u ссылаются на одни и те же настройки, но я не уверен, правильно ли это? $u=x^{0.5}y^{0.5}$ $u'= log(x) + log (y)$ $(0.5)log (x) + (0.5)log (y)$ $2$ $log (x) + log (y)$

microeconomics mathematical-economics

— JJJ
источник

Ответы:

Подсказка: как положительное монотонное преобразование функции полезности влияет на проблему максимизации потребителя?

Редактировать,

Предположим, что оптимальный пакет для некоторого агента с некоторой функцией полезности определяется как . Предположим тогда, что я беру преобразование некоторой строго монотонной функцией . Я утверждаю, что - оптимальный набор для новой функции полезности . $u$ $x^{*} = (x_{1}^{*},x_{2}^{*})$ $u$ $f$ $x^{*} = (x_{1}^{*},x_{2}^{*})$ $v = f \circ u$

Предположим, что нет, предположим, что существует другой пакет такой, что . Но по определению мы имеем Тогда, поскольку строго монотонна, оно обратимо и поэтому из мы должны иметь , что противоречит оптимальности . $\hat{x} = (\hat{x}_{1},\hat{x}_{2})$ $v(\hat{x}) > v(x^{*})$ $v$

\begin{matrix} (In) & f (u (\hat{x})) > f (u (x^{*})) \end{matrix}

$\tag{In}\label{In} f(u(\hat{x})) > f(u(x^{*}))$

f

$f$

In

$\ref{In}$

u (\hat{x}) > u (x^{*})

$u(\hat{x}) > u(x^{*})$

x^{*}

$x^{*}$

Функция - одна из таких строго монотонных функций в области . $\ln$ $\Re_{+}$

Я предполагаю, что идея монотонного преобразования состоит в том, чтобы облегчить его решение, но результат максимизации должен быть таким же.

— JJJ

Так что я должен решить их обоих и посмотреть, получу ли я такой же результат?

— JJJ

Итак, могу ли я взять обе функции полезности, которые у меня есть, дифференцировать, например, x1, а затем установить их равными нулю для них обоих и решить каждую и посмотреть, дают ли они одинаковый результат?

— JJJ

Можете ли вы показать, что для любого расслоения , для утилиты CB, тогда для утилиты ln? Вы не должны дифференцироваться.

z = (x, y)

$z = (x,y)$

u (z) \geq u (z^{'})

$u(z) \geq u(z')$

v (z) \geq v (z^{'})

$v(z) \geq v(z')$

Чтобы увидеть, совпадают ли предпочтения между и , просто посмотрите на обоих, чтобы увидеть, эквивалентны ли они. $u$ $u'$ $MRS$

т.е.

M R S_{u} = \frac{M U_{x}}{M U_{y}} = \frac{(0.5 x^{- 0.5} y^{0.5})}{(0.5 x^{0.5} y^{- 0.5})} = \frac{y}{x}

$MRS_{u}=\frac{MU_x}{MU_y}=\frac{\left(0.5x^{-0.5}y^{0.5}\right)}{\left(0.5x^{0.5}y^{-0.5}\right)}=\frac{y}{x}$

M R S_{u^{'}} = \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{y}} = \frac{y}{x}

$MRS_{u'}=\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{y}}=\frac{y}{x}$

\Rightarrow M R S_{u} = M R S_{u^{'}}

$\Rightarrow MRS_u=MRS_{u'}$

$\therefore$ $u$ и вас одинаковые предпочтения. $u'$

Надеюсь, это полезно

— FreakconFrank
источник

Здравствуй. Спасибо. Очень полезно. Я на самом деле просто решил это таким образом, прежде чем я пришел сюда снова, чтобы увидеть, были ли какие-либо обновления. Еще раз спасибо!

— JJJ