Разложение аддитивного функционала в часть Мартингейла и др.

Этот вопрос относится к теореме о разложении аддитивных функционалов - методе, особенно полезной в макроэкономике и финансах. Этот вопрос имеет две цели. Во-первых, у меня нет ссылки на теорему, которая показывает, когда это возможно, и я хотел бы ее найти. Во-вторых, я хотел бы знать, как на самом деле найти это разложение.

Рассмотрим следующую модель авторегрессии: $$ X_ {t + 1} = \ alpha_0 + \ beta_0 (X_t - \ alpha_0) + W_ {t + 1}, $$ где $ -1 & lt; \ beta_0 & lt; 1 $ и $ W_ {t + 1} $ распределяется как нормаль со средним нулем и дисперсией один. Теперь рассмотрим аддитивный функционал $$ Y_t = \ sum_ {j = 1} ^ t X_j. $$ Как бы я произвел разложение формы $$ Y_t = r_1 t + M_t - r_2 (X_t - X_0) $$ где $ \ {M_t \} $ - мартингейл? (Как можно получить значения $ r_1 $, $ r_2 $ и $ M_t - M_ {t-1} $?)

Используя данные формулы (вставляя выражение для $ X $ в сумму), мы приходим к

$$ Y_t = (1- \ beta_0) \ alpha_0 \ cdot t + \ beta_0 \ sum_ {j = 0} ^ {t-1} X_j + \ sum_ {j = 1} ^ {t} W_j $$

Нам не нужна теорема, чтобы получить это, учитывая описание проблемы.

Манипуляции,

$$ Y_t = (1- \ beta_0) \ alpha_0 \ cdot t - \ beta_0 (X_t-X_0) + \ beta_0Y_ {t} + \ sum_ {j = 1} ^ {t} W_j $$

$$ \ implies Y_t = \ alpha_0t + \ frac {1} {1- \ beta_0} \ sum_ {j = 1} ^ {t} W_j- \ frac {\ beta_0} {1- \ beta_0} (X_t-X_0) $$

и мы хотим сопоставить это с

$$ Y_t = r_1 t + M_t - r_2 (X_t - X_0) $$

Мы сразу получаем, что у нас должны быть $ r_1 = \ alpha_0 $, $ r_2 = \ beta_0 / (1- \ beta_0) $ и $$ M_t = \ frac {1} {1- \ beta_0} \ sum_ {j = 1} ^ {t} W_j $$

Является ли $ M_t $ as мартингейл? У нас есть

$$ E [M_t \ mid \ sigma (t-1, t-2, ..)] = \\ = \ frac {1} {1- \ beta_0} E [W_t \ mid \ sigma (t-1, t -2, ..)] + \ frac {1} {1- \ beta_0} \ sum_ {j = 1} ^ {t-1} W_j $$

$$ = \ frac {1} {1- \ beta_0} E [W_t \ mid \ sigma (t-1, t-2, ..)] + M_ {t-1} $$

Так если $ E [W_t \ mid \ sigma (t-1, t-2, ..)] = 0 $, а именно, если исходное возмущение не зависит от среднего от прошлого (в более причудливом выражении, если $ \ {W_t) \} $ - это «разница Мартингейла»), тогда $ M_t $ - это мартингейл, и у нас есть наше отображение.

Обычно аддитивные функционалы определены для (сильных) марковских процессов с непрерывными выборочными путями (диффузиями), но я предполагаю, что у вас есть временной ряд Маркова --- AR (1) --- и $ \ {Y_t \} $ действительно аддитивен. Итак, в вашем случае,

$$ X_t = a_0 + a_1 X_ {t-1} + W_t, $$

и вы хотели бы

\ {Начать выравнивать *} Y_t - Y_ {t-1} & amp; = r_1 + (M_t - M_ {t-1}) + r_2 (X_t - X_ {t-1}) \\               & amp; = a_0 + W_t + a_1 X_ {t-1}. \ Конец {выравнивать *}

Если такое разложение существует, то обусловливание на $ \ sigma (X_1, ... X_ {t-1}) $ дает необходимые условия

\ {Начать выравнивать *} r_1 + r_2 (a_0 + (a_1 -1) X_ {t-1}) & amp; = a_0 + a_1 X_ {t-1} \\ \ Конец {выравнивать *}

с решениями \ {Начать выравнивать *} r_1 = (1- \ frac {a_1} {a_1 -1}) a_0, \; r_2 = \ frac {a_1} {a_1 -1}. \ Конец {выравнивать *}

Затем можно заменить $ (r_1, r_2) $ на

$$ a_0 + W_t + a_1 X_ {t-1} - r_1 - r_2 (X_t - X_ {t-1}) $$

и проверьте, что он дает мартингальную разностную последовательность $ \ frac {-1} {a_1 -1} W_t $.