Применение функций Триг в экономике?

14

Есть ли какие-либо применения тригонометрических функций (то есть , , ) в экономике? $\sin(x)$ $\cos(x)$ $\tan(x)$

mathematical-economics

— EconJohn
источник

2

Почему тебя это беспокоит?

— Майкл Гринекер

5

@MichaelGreinecker общий интерес.

— EconJohn

2

Соответствующие stats.stackexchange.com/questions/312883/…

— EconJohn

13

Основным свойством тригонометрических функций является их цикличность. Тогда можно было бы подумать, что они могут быть идеальными в анализе временных рядов для моделирования «колебаний вокруг тренда». Я считаю, что причины, по которым они фактически не используются в таких условиях,

1) Они являются детерминированными функциями, поэтому они не допускают стохастических колебаний

2) Если исследователь хочет создать модель, которая генерирует колебания (колебания) вверх и вниз вокруг тренда, он хотел бы получить это свойство из поведенческих и других предположений модели. Если бы он использовал функцию триггера, он априори навязал бы модели искомый теоретический результат.

Вместо этого выбирают дифференциально-разностные уравнения. Там мы получаем колебания (демпфированные или нет), если некоторые характерные корни являются сложными - и тогда появляются тригонометрические функции, но в качестве альтернативного представления, а не в виде блокирующих блоков.

— Алекос Пападопулос
источник

2

Я не уверен, что согласился бы с вами. Во временных рядах есть область, называемая спектральным анализом, в которой в основном используются тригонометрические функции, преобразование Фурье и т. Д. Вы узнаете, что вы можете разложить стационарный временной ряд в сумму синусоидальных компонентов с некоррелированными случайными коэффициентами.

— Старик в море.

3

@Anoldmaninthesea. Конечно, хорошо, что вы указали на это (я бы посоветовал сделать из этого ответ). Но спектральный анализ в основном используется для целей атеоретического прогнозирования, а не для структурно-экономического моделирования.

— Алекос Пападопулос

Алекос, к сожалению, мне нужно было бы изучить его подробно, чтобы дать хороший ответ. Может быть, на выходных. : D

— Старик в море.

1

Просто сказать, что я прочитал по этому вопросу, и это включает в себя стохастическую интеграцию (разложение на ряд синусоидальных компонентов), о которой я понятия не имею ... В остальной части чтения было просто заявлено, что спектральный анализ эквивалентен к обычному анализу во временной области, но не вдаваясь в подробности. Я добавляю этот комментарий, чтобы вы знали, что я не забыл и попытался, но я просто не знаю достаточно. ;)

— Старик в море.

1

@Anoldmaninthesea. Попробуйте главу 2 Грейнджер и Ньюболд "Прогнозирование экономических временных рядов" (2-е издание). Это старая книга, но полная мудрости, реализма и экспозиционной силы (и не только для спектрального анализа).

— Алекос Пападопулос

12

Естественное применение тригонометрических функций заключается в анализе пространственных данных. Примером является проблема Вебера в теории местоположения - поиск точки, которая минимизирует сумму транспортных расходов для пунктов назначения. Существует несколько способов решения проблемы, но в решении Теллье используется тригонометрия. $n$

— Адам Бейли
источник

11

Я знаю, что ряд Фурье используется в финансах и эконометрике.

Методы преобразования Фурье в финансах

5

Pr ({\tilde{р}}_{T}) знак равно {[\frac{π}{2} + {загар}^{- 1} (\frac{μ}{γ})]}^{- 1} \frac{γ}{γ^{2} + ({\tilde{р}}_{T} - μ)^{2}},

$\Pr(\tilde{r}_t)=\left[\frac{\pi}{2}+\tan^{-1}\left(\frac{\mu}{\gamma}\right)\right]^{-1}\frac{\gamma}{\gamma^2+(\tilde{r}_t-\mu)^2}.$

Об этом см .: Harris, DE (2017) Распределение доходов. Журнал математических финансов, 7, 769-804.

Для возвратов, рассчитанных как разница логов, возвращаются следующие значения:

Pr (L о грамм (р_{T})) знак равно \frac{1}{2 σ} сечь (\frac{π ({\tilde{р}}_{T} - μ)}{2 σ})

$\Pr(log(r_t))=\frac{1}{2\sigma}\text{sech}\left(\frac{\pi(\tilde{r}_t-\mu)}{2\sigma}\right)$

— Дейв Харрис
источник

4

Для конкретного примера того, как функции триггера (и обратного триггера) могут иметь финансовые или экономические приложения, вот один из «Анализа финансовых временных рядов» Ruey S. Tsay. Рассмотрим модель AR (2):

р_{T} знак равно φ_{0} + φ_{1} р_{T - 1} + φ_{2} р_{T - 2} + a_{T}

$r_t = \phi_0 + \phi_1 r_{t-1} + \phi_2 r_{t-2} +a_t$

Его автокорреляционная функция (ACF) удовлетворяет разностному уравнению , где - оператор обратного сдвига, т. и . (Некоторые люди предпочитают писать вместо оператора задержки.) $\rho_\ell = \operatorname{Corr}(r_t, r_{t-\ell})$ $(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2) \rho _ \ell = 0$ $B$ $B \rho_\ell = \rho_{\ell-1}$ $B^2 \rho_\ell = \rho_{\ell-2}$ $L$

Характеристическое уравнение второго порядка имеет характеристические корни и определяемые как: $1 - \phi_1 \omega - \phi_2 \omega^2 = 0$ $\omega_1$ $\omega_2$

ω знак равно \frac{φ_{1} \pm \sqrt{φ_{1}^{2} + 4 φ_{2}}}{- 2 φ_{2}}

$\omega = \frac{\phi_1 \pm \sqrt{\phi_1^2 + 4\phi_2}}{-2\phi_2}$

Если характеристические корни действительны, поведение представляет собой смесь двух экспоненциальных распадов. Но если вместо этого дискриминант , то характеристические корни и образуют комплексно-сопряженную пару, и на графике АКФ будут присутствовать затухающие синусоидальные волны. Цитировать Цай: $\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0$ $\omega_1$ $\omega_2$

В деловых и экономических приложениях важны сложные характерные корни. Они порождают поведение деловых циклов. В этом случае модели экономических временных рядов обычно имеют комплексные характерные корни. Для модели AR (2) ... с парой сложных корней характеристик средняя длина стохастических циклов равна

$К знак равно \frac{2 π}{{соз}^{- 1} [φ_{1} / (2 \sqrt{- φ_{2}})]}$ $k = \frac{2 \pi}{\cos^{-1}[\phi_1 / (2\sqrt{-\phi_2})]}$
где косинус обратный указан в радианах. Если записать комплексные решения как , где , то у нас есть , и $a \pm bi$ $i=\sqrt{-1}$ $\phi_1 = 2a$ $\phi_2 = -(a^2 + b^2)$

$К знак равно \frac{2 π}{{соз}^{- 1} (a / \sqrt{a^{2} + б^{2}})}$ $k = \frac{2 \pi}{\cos^{-1}(a / \sqrt{a^2+b^2})}$

Обратите внимание, что этот второй способ записи имеет гораздо более геометрически интуитивный способ мышления об обратном косинусе. $k$

— тарпон
источник

Я цитировал Tsay дословно: «сложные характерные корни важны. Они порождают поведение бизнес-циклов», потому что я думаю, что к заявлению следует относиться скептически - см. Ответ Алекоса, а также, например, комментарии Стефана Коласса здесь . Интересно, не слишком ли упрощена книга для ее аудитории (хотя текст на уровне выпускника, акцент сделан на практиков)? Однако если длины циклов нестохастичны, формула для остается верной.

k

$k$

— Серебряная