Доказательство ожидаемой полезности vNM

Мой профессор по теории решений попросил меня обратиться к заметкам Дэвида М. Крепса по теории выбора для доказательства теоремы vNM об ожидаемой полезности. Перед тем, как доказательство теоремы начнется в действительности, существуют две леммы, которые используются при доказательстве теоремы. Я не могу понять доказательство одной части одной из лемм. В частности, доказательство для части (с) приведенной ниже леммы. Я понимаю интуицию, стоящую за этим. Это в основном аксиома независимости, но с отношением эквивалентности, однако я не получаю доказательства вообще. Любая помощь очень ценится.

И это доказательство для части (с). Когда автор говорит о применении (5.2), он имеет в виду аксиому независимости, а когда он говорит о применении (5.3), он имеет в виду архимедову или аксиому непрерывности.

Давайте напишем

$$\begin{align} x&=ap+(1-a)r\\ y&=aq+(1-a)r \end{align}$$ $x\sim y$x ⊁ y y ⊁ $$\begin{equation} x\sim y\quad\Leftrightarrow\quad x\not\succ y\;\text{ and }\;y\not\succ x. \end{equation}$$ $x\not\succ y$$y\not\succ x$

Чтобы показать это, используйте доказательство от противного. Предположим противное: , и попытайтесь вывести противоречие. Это то, что делает данное доказательство.$x\succ y$