Монополии - просто математическое недоразумение

Немного головокружения (и хороший пример того, почему мы должны быть осторожны с обозначениями).

Рассмотрим монополию, максимизирующую прибыль, которая решает проблему цены

$$\max \pi = PQ(P) - C(Q(P)) \tag{1}$$

Следуя рутинным шагам ( см. Этот пост )

мы приходим к важному результату, заключающемуся в том, что при цене, максимизирующей прибыль, эластичность спроса по цене должна быть выше в абсолютном выражении или ниже -1 в алгебраическом выражении. Именно по максимизирующей прибыль цене мы имеем$1$$-1$

$$\eta^* = \frac {\partial Q }{ \partial P}\cdot \frac {P}{Q} <-1 \Rightarrow \frac {\partial Q }{ \partial P}P <-Q$$

$$\Rightarrow \frac {\partial Q }{ \partial P}P +Q <0 \tag{2}$$

Но $\frac {\partial Q }{ \partial P}P +Q$ является производной от $PQ(P)$ и $PQ(P) = TR$ , общий доход. Итак, $\frac {\partial Q }{ \partial P}P +Q = MR$ , предельный доход, и мы только что получили, что при максимизирующей прибыль цене и для того, чтобы иметь эластичность больше $1$ в абсолютном выражении, мы должны иметь $MR^* <0$ .

Но мы также теперь, что в точке максимизации прибыли мы имеем $MR^*=MC^*>0$ .

Таким образом, решения не существует, и поэтому мы заключаем, что монополии - это просто математическое недоразумение.

Теперь у меня возникла проблема (?), Чтобы написать этот ухмыляющийся пост, я надеюсь, что кто-то потратит несколько десятков секунд на то, чтобы написать четкий ответ, чтобы указать, в чем заключается хитрость.

$PQ(P)=TR$ , общий доход.

PQ(P)P$\frac{∂Q}{∂P}P+Q$ является производной от относительно .$PQ(P)$ $P$

T R Q$MR$ , Предельный доход, является производной от по отношению к .$TR$ $Q$

В общем,$\frac{∂Q}{∂P}P+Q \neq MR$

Чтобы дополнить точный ответ @AdamBailey, целью этого поста было предупредить заинтересованных читателей о последствиях изменения переменных решения в нашем мышлении.

Мы привыкли думать о Спросе как о «цене в зависимости от количества» или «количестве в зависимости от цены». Но в отношении издержек производства мы автоматически склонны думать о стоимости в зависимости от количества, а не от цены продажи.

Поэтому, будучи даже немного утомительным явным с примечаниями окупается (спросите парней о динамической оптимизации, например , книга Капуто ). В конкретном примере символы , , не раскрывают переменную решения, и именно здесь была основана хитрость. Но если мы написалиM R M $TR$$MR$$MC$

$$\max \pi = TR[Q(P)] - C[Q(P)]$$

мы бы четко дали понять, что нашей конечной переменной решения является цена, и поэтому

$$f.o.c: \;\;\;MR(Q)\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} - MC(Q)\frac {\partial Q}{\partial P} =0$$

$$\implies (MR(Q) - MC(Q))\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} =0 \implies MR(Q) = MC(Q)$$

в то же время мы ясно увидели бы, что

$$\frac {\partial TR}{\partial P} = MR(Q)\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} = \frac {\partial Q}{\partial P}Q + Q$$

и так, что требование эластичности спроса по цене приводит к

$$\frac {\partial TR}{\partial P} = MR(P) = Q\frac {\partial Q}{\partial P}Q + Q < 0 \implies MR(Q)\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} < 0 \implies MR(Q) >0$$

(так как ). Таким образом, в оптимальной точке предельный доход по количеству должен быть положительным, а предельный доход по цене - отрицательным.$\frac {\partial Q}{\partial P} <0$