Понимание построения случайных процессов


11

Я видел стохастические процессы, смоделированные / построенные следующим образом.

Рассмотрим вероятностное пространство и пусть S - (измеримое) преобразование S : Ω Ω, которое мы используем для моделирования эволюции точки выборки ω во времени. Также пусть X - случайный вектор X : Ω R n . Тогда случайный процесс { Х т : т = 0 , 1 , . , , }(Ω,F,Pr)SS:ΩΩωXX:ΩRn{Xt:t=0,1,...}используется для моделирования последовательности наблюдений по формуле или X t = X S t .Xt(ω)=X[St(ω)]Xt=XSt.

Как понять точки выборки и преобразование S в этой конструкции? (Может ли ω быть чем-то вроде последовательности ударов в определенных случаях?)ωΩSω

Для большей конкретности, как бы я записал эти два процесса в этой записи?

Процесс 1: где X 0 = 0 .

(1)Xt+1=ρXt+εt+1
X0=0

Процесс 2:

(2)Xt+1=εt+1

Ответы:


4

Эта конструкция, которую вы описываете, не является полностью общей. По сути это характеризует строго стационарные временные ряды. Вы видите, что это инвариант смещения. Этот оператор по сути является оператором сдвига.S

Для сравнения вот обычное определение, скажем, процессов с дискретным временем:

Определение Стохастический процесс - это последовательность измеримых по Борелю отображений в вероятностном пространстве ( Ω , F , µ ) . {Xt}(Ω,F,μ)

Теперь для того, что вы описываете, у вас есть фиксированное измеримое по Борелю отображение . Это основной показатель , который развивается в соответствии с S . Отображение S индуцирует новую «меру продвижения вперед» (на языке теории меры) на Ω , просто принимая прообразы: определите меру μ S с помощьюX:ΩRnSSΩμS

AFμSPr(S1(A)).

X:(Ω,F,μS)RnXSRnStt

ω(Ω,F,Pr)XS

C[0,)ωΩ

ΩFσPrPr

Ссылка Эта характеристика / построение по сдвигу строго стационарных временных рядов упоминается в Асимптотической теории Уайта для эконометристов .


SPr(A)=P(S1(A))AFS

1
ΩΠRS

1

ω

ω

ϵt

ωR, S(ω)=ω, X(St(ω))=St(ω).

Первый пример - это разработка первого:

ωR2, S((ω1,ω2))=(ρω1+ω2,ω2), X(St(ω))=(St(ω))1.

Как мы уже видели, сама операция S довольно неоднозначна и ее трудно толковать разумно. Однако следует отметить, что он определяет преобразование, сохраняющее меру, и получение изображения под ним создает набор с той же мерой. Так что эта функция динамики измерения на нашем пространстве состояний во времени.


1

SωX(ω)ωSX{Xt}t=0

Используя наш сайт, вы подтверждаете, что прочитали и поняли нашу Политику в отношении файлов cookie и Политику конфиденциальности.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.