Понимание построения случайных процессов

11

Я видел стохастические процессы, смоделированные / построенные следующим образом.

Рассмотрим вероятностное пространство и пусть - (измеримое) преобразование которое мы используем для моделирования эволюции точки выборки во времени. Также пусть - случайный вектор . Тогда случайный процесс $(\Omega, \mathcal F, Pr)$ $\mathbb S$ $\mathbb S: \Omega \rightarrow \Omega$ $\omega$ $X$ $X: \Omega \rightarrow \mathbb R^n$ $\{ X_t: t=0,1,...\}$ используется для моделирования последовательности наблюдений по формуле или $X_t(\omega) = X[\mathbb S^t(\omega)]$ $X_t = X \circ \mathbb S^t.$

Как понять точки выборки и преобразование в этой конструкции? (Может ли быть чем-то вроде последовательности ударов в определенных случаях?) $\omega \in \Omega$ $\mathbb S$ $\omega$

Для большей конкретности, как бы я записал эти два процесса в этой записи?

Процесс 1: где .

\begin{matrix} (1) & X_{t + 1} = ρ X_{t} + ε_{t + 1} \end{matrix}

$X_{t+1} = \rho X_t + \varepsilon_{t+1} \tag{1}$

X_{0} = 0

$X_0 = 0$

Процесс 2:

\begin{matrix} (2) & X_{t + 1} = ε_{t + 1} \end{matrix}

$X_{t+1} = \varepsilon_{t+1} \tag{2}$

— jmbejara
источник

4

Эта конструкция, которую вы описываете, не является полностью общей. По сути это характеризует строго стационарные временные ряды. Вы видите, что это инвариант смещения. Этот оператор по сути является оператором сдвига. $S$

Для сравнения вот обычное определение, скажем, процессов с дискретным временем:

Определение Стохастический процесс - это последовательность измеримых по Борелю отображений в вероятностном пространстве . $\{ X_t \}$ $( \Omega, \mathcal{F}, \mu )$

Теперь для того, что вы описываете, у вас есть фиксированное измеримое по Борелю отображение . Это основной показатель , который развивается в соответствии с . Отображение индуцирует новую «меру продвижения вперед» (на языке теории меры) на , просто принимая прообразы: определите меру помощью $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^n$ $S$ $S$ $\Omega$ $\mu_S$

A \in F \overset{μ_{S}}{\mapsto} P r (S^{- 1} (A)) .

$A \in \mathcal{F} \stackrel{\mu_S}{\mapsto} Pr(S^{-1}(A)).$

$X: ( \Omega, \mathcal{F}, \mu_S) \rightarrow \mathbb{R}^n$ $X \circ S$ $\mathbb{R}^n$ $S^t$ $t$

$\omega$ $( \Omega, \mathcal{F}, Pr)$ $X$ $S$

$C[0, \infty)$ $\omega$ $\Omega$

$\Omega$ $\mathcal{F}$ $\sigma$ $Pr$ $Pr$

Ссылка Эта характеристика / построение по сдвигу строго стационарных временных рядов упоминается в Асимптотической теории Уайта для эконометристов .

— Майкл
источник

S

$\mathbb S$

P r (A) = P (S^{- 1} (A))

$Pr(A) = P(\mathbb S^{-1}(A))$

A \in F

$A \in \mathcal F$

S

$\mathbb S$

1

Ω

$\Omega$

Π R

$\Pi \mathbb{R}$

S

$S$

1

$\omega$

$\epsilon_t$

$\omega \in R,$ $S(\omega) = \omega,$ $X(S^t(\omega)) = S^t(\omega).$

Первый пример - это разработка первого:

$\omega \in R^2,$ $S((\omega_1,\omega_2)) = (\rho \cdot \omega_1 + \omega_2,\omega_2),$ $X(S^t(\omega)) = (S^t(\omega))_1.$

Как мы уже видели, сама операция S довольно неоднозначна и ее трудно толковать разумно. Однако следует отметить, что он определяет преобразование, сохраняющее меру, и получение изображения под ним создает набор с той же мерой. Так что эта функция динамики измерения на нашем пространстве состояний во времени.

— Никита Торопов
источник

1

$\mathbb{S}$ $\omega$ $X(\omega)$ $\omega$ $\mathbb{S}$ $X$ $\{X_t\}_{t=0}^\infty$

— Пэт У.
источник