Как наметить среднесрочную среднюю стоимость?

Я научился грубо рисовать графики различных функций, таких как изокванты функции Кобба-Дугласа, то есть $ k = √q / L $. Здесь первая производная отрицательна, поэтому она имеет наклон вниз, а вторая производная положительна, поэтому выпуклая к началу координат. Теперь, если функция краткосрочных затрат равна $ C = (w / k) q ^ 2 + (rk) $, то средняя стоимость равна $ AVC = (w / k) q + (rk) / q $. Первая производная $ (w / k) - (rk) / q ^ 2 $, но как узнать, положительный или отрицательный?

microeconomics production-function cost

— Shoaib Ashraf
источник

Подсказка: решите для $ q $ в $ (w / k) - (rk) / q ^ 2 & gt; 0 $, чтобы получить значения $ q $, для которых $ AVC $ имеет наклон вверх, и найдите для $ q $ в $ (w / k) - (rk) / q ^ 2 & lt; 0 $ для значений $ q $, которые соответствуют нисходящей наклонной части кривой $ AVC $.

— Herr K.

Итак, наклон меняется при $ q = √ (r / w) * K $. Теперь на исходном графике показана асимптотика с наклоном. Как мне найти это?

— Shoaib Ashraf

$ \ Newcommand {\ Fone} {\ цвет {красный} {f_1 (д)}} $ $ \ Newcommand {\ ftwo} {\ цвет {синий} {f_2 (д)}} $

Ради простоты звоните

$$ f (q) = \ frac {w} {k} q + \ frac {rk} {q} = rk \ left (\ underbrace {\ frac {1} {q}} _ {\ fone} + \ underbrace {\ frac {w} {rk ^ 2} q} _ {\ ftwo} \ right) = rk (\ fone + \ ftwo) $$

где я вычел $ rk $ из выражения. Теперь вы хотите понять каждый термин в отдельности:

$ \ fone = 1 / q $

Этот член уменьшается с ростом $ q $ и расходится, когда $ q $ мало.

$ \ ftwo = \ alpha q $, с $ \ alpha = w / rk ^ 2 $

Это линейный член с наклоном $ \ alpha $: он мал для малых $ q $ и велик для больших $ q $.

комбинированный

В этом конкретном случае функция одного из членов увеличивается, а другого - уменьшается. Так что в крайнем случае только одно дело. Вопрос в том, где находится точка, в которой одно становится более актуальным, чем другое.

Если вы заметили выше, я всегда использую выражения маленький а также большой , но это относительные слова. На самом деле вы можете найти значение $ q ^ * $, при котором эти два члена равны, и это определяет, в каком из них доминирует каждый член.

Итак, если $ q & lt; q ^ * $ это то, что я имею в виду под малым $ q $, и поэтому $ \ fone $ доминирует. Если, с другой стороны, $ q & gt; q ^ * $ $ f $ будет доминировать $ \ ftwo $. Чтобы найти $ q ^ * $ мы делаем

\ Начать {eqnarray} \ fone & amp; = & amp; \ ftwo \\ \ frac {1} {q} & amp; = & amp; \ alpha q \\ q ^ * & amp; = & amp; \ Альфа ^ {- 1/2} \ Конец {eqnarray}

Имея это в виду, ниже представлен график для $ \ alpha = 1 $

— caverac
источник