Оптимизация с использованием функции стоимости

У меня есть следующая проблема оптимизации:

max зависимости оту + М т - $E_{0}\sum_{t=0}^{\infty}[log(c_{t}) + log(m_{t})]$$y + \frac{M_{t-1}}{p_{t}} + R_{t-1}\frac{B_{t-1}}{p_{t}} = c_{t} + m_{t}+b_{t}+\tau_{t}$

Где строчные буквы обозначают реальные переменные, а - номинальная валовая процентная ставка.$R$

Я пытаюсь решить эту проблему, используя подход функции значения, но мне трудно понять, какой должна быть переменная состояния в этом случае. Я попытался использовать богатство как государство и сформулировал следующую функцию стоимости:

$V(a_{t}) = \max_{c_{t}, m_{t},b_{t}} [u(c_{t},m_{t}) + \beta V(a_{t+1})]$

где и начальные значения предполагается, что дано. Моя проблема сейчас в том, что я не знаю, что заменить . Я попытался переслать левую часть бюджетного ограничения (т.е. а затем дифференцируем по c, m и b, но мои результаты очень странные. Кроме того, если я правильно понял, я также должен найти что я не могу сделать с этой заменой.$a_{t} = y+ \frac{M_{t-1}}{p_{t}} + R_{t-1}\frac{B_{t-1}}{p_{t}}$$a_{t+1}$$a_{t+1} = y + \frac{m_{t}}{\pi_{t+1}} + R_{t} \frac{b_{t}}{\pi_{t+1}})$$V_{a}(a_{t})$

Я пытаюсь изучить это, используя книгу Уолша, и в его примере бюджетное ограничение имеет капитал, который появляется по обе стороны от бюджетного ограничения, что позволяет ему переписывать капитал как функцию от . Я пытался сделать то же самое, но с реальным балансом;$a_{t}$

Из ограничения бюджета я могу написать$m_{t} = a_{t}-c_t-b_t-\tau_t$

Итак,$V(a_{t}) = [u(c_{t},m_{t}) + \beta V(y + \frac{a_{t}-c_t-b_t-\tau_t}{\pi_{t+1}}) + R_{t} \frac{b_{t}}{\pi_{t+1}} ]$

Опять же, я различаю по c, m и b, и на этот раз мои результаты выглядят менее сумасшедшими, но все еще не правильными. Я получил:

(c)$u_{c} - \beta V_{a}(a_{t+1})[\frac{1}{\pi_{t+1}}] = 0$

(m)$u_m + \beta V_{a}(a_{t+1})[\frac{1}{\pi_{t+1}}] = 0$

(b)$\beta V_{a}(a_{t+1})[\frac{R_{t}}{\pi_{t+1}} - \frac{1}{\pi_{t+1}}] = 0$

И, наконец,$V_{a}(a_{t}) = \beta V_{a}(a_{t+1})[\frac{1}{\pi_{t+1}}]$

Последнее условие подразумевает, что что аналогично ответу Уолша, но я не могу получить форму уравнения Фишера и функцию спроса на деньги из моей работы.$u_{c} = V_{a}(a_{t})$

Существует также условие равновесия но я понятия не имею, когда его навязывать.$c_{t} = y-g$

Есть мысли о том, что я сделал неправильно?

Начиная с вашего исходного уравнения:

$max_{c_t, m_t, b_t} E_0\sum_{t=0}^\infty U(c_t, m_t)$

улица

(1)$y+\frac{m_{t-1}}{1+\pi_t}+\frac{1+i_{t-1}}{1+\pi_t}b_{t-1}=c_t+m_t+b_t+\tau_t$

Здесь: и$R_{t-1} =1+i_{t-1}$$1+\pi_t=\frac{P_t}{P_{t-1}}$

Обратите внимание, что в этой задаче у вас есть две переменные состояния, и , и ваша основная проблема заключалась в том, что вы сгруппировали их вместе. Ваш Беллман должен быть:$m_{t-1}$$b_{t-1}$

$V(m_{t-1},b_{t-1})=max_{c_t, m_t, b_t} U(c_t,m_t)+E_t\beta V(m_t,b_t)$

ул (1)

Здесь вы можете использовать свой contstraint, чтобы избавиться от одного элемента управления, или вы можете решить его с помощью лагранжиана. Если вы используете свое ограничение вместо , ваша обновленная проблема становится:$c_t$

$V(m_{t-1},b_{t-1})=max_{m_t, b_t} U(c_t(y, m_{t-1}, b_{t-1},m_t, b_t, \tau _t),m_t)+E_t\beta V(m_t,b_t)$

В целях разъяснения:

$c_t(y, m_{t-1}, b_{t-1},m_t, b_t, \tau _t)=y+\frac{m_{t-1}}{1+\pi_t}+\frac{1+i_{t-1}}{1+\pi_t}b_{t-1}-m_t-b_t-\tau _t$

РПД:

$[b_t$ ]:$-U_{c_t}+\beta E_tV_{b_t}=0$

$[m_t]$ :$-U_{c_t}+U_{m_t}+\beta E_tV_{m_t}=0$

Конверты:

$[b_{t-1}]$ :$U_{c_t}\frac{1+i_{t-1}}{1+\pi _t}\implies V_{b_t}=U_{c_{t+1}}\frac{1+i_t}{1+\pi _{t+1}}$

$[m_{t-1}]$ :$U_{c_t}\frac{1}{1+\pi _t}\implies V_{m_t}=U_{c_{t+1}}\frac{1}{1+\pi _{t+1}}$

Вы должны быть в состоянии объединить эти уравнения так, чтобы вы нашли спрос на деньги. Для меня ваше состояние равновесия (наряду с тем фактом, что в настройках нет капитала) подразумевает, что нет сбережений в реальных переменных, и, следовательно, у вас нет ничего, что могло бы ограничить реальную процентную ставку, и поэтому вам не хватает информация, чтобы найти уравнение Фишера.

Благодаря @Boaten я смог найти решение. Для тех, кто заинтересован, вот шаги для получения отношения Фишера:

Объединяя FOC и конверт для мы получаем$[b_{t}]$$[b_{t-1}]$

$U_{c_{t}} = \beta E_{t}\frac{U_{c_{t+1}}(1+i_{t})}{1+\pi _{t+1}}$ Предполагается, что полезность войти в оба аргумента это может быть упрощено как

$\frac{c_{t+1}}{c_{t}} = \beta E_{t} \frac{1+i_{t}}{1+\pi _{t+1}}$

Автор предполагает, что , поэтому левая часть равна 1. Таким образом, мы получаем$c_{t} = y - g$

$\frac{1}{R_{t}} = \beta E_{t}[\frac{1}{1+ \pi_{t+1}}]$ - результат, который я получил.