Основная модель роста Солоу: доказательство стабильности

Этим летом я читаю «Азбуку эритроцитов», чтобы получить предварительный просмотр того, что мне нужно знать в предстоящем осеннем семестре. Это не заняло много времени, чтобы найти утверждение, которое я могу легко принять, но не могу доказать. На странице 9 после получения установившегося состояния $ (\ delta + n) \ bar {k} = \ sigma A_0 f (\ bar {k}) $ в режиме нулевого технологического роста (где $ \ delta $ - амортизация и $ n $ - скорость роста рабочей силы), автор говорит, что «стабильность положительного стационарного состояния можно увидеть из уравнения $$ k_ {t + 1} = g (k_t) = \ frac {(1 - \ delta) k_t + \ sigma A_0 f (k_t)} {1 + n} $$ Обратите внимание, что между 0 и положительным $ \ bar {k} $ функция $ g (k_t) $ находится выше линии 45 градусов , так что $ k_ {t + 1} $ больше, чем k_t. " Он предоставляет стандартную диаграмму состояний модели Солоу, где я могу проверить это графически, но не аналитически.

Я пытаюсь доказать каждое утверждение в книге, чтобы лучше ознакомиться с деталями макроэкономической теории, прежде чем углубляться, но я совершенно ошеломлен тем, как я могу доказать, что $ k_ {t + 1} & gt; k_t $, когда $ 0 & lt; k_t & lt; \ bar {k} $ и наоборот. Сначала я попытался манипулировать уравнением движения капитала, чтобы доказать это напрямую, и не смог найти доказательства. Следующая стратегия, которую я пытался применить, состоит в том, чтобы дифференцировать уравнение движения капитала и доказать, что его производная меньше 1 в точке устойчивого состояния, но она терпит неудачу:

$$ \ frac {\ частичный k_ {t + 1}} {\ частичный k_t} = \ frac {(1- \ delta) + \ sigma A_0 f '(k_t)} {1 + n} & gt; \ frac {(1- \ delta) + \ sigma A_0 f '(\ bar {k})} {1 + n} = \ frac {(1- \ delta) + (\ delta + n)} {1 + n } = 1 $$

У кого-нибудь есть альтернативная стратегия, которой я могу следовать? Это сводит меня с ума в течение двух дней.

Для стабильности мы хотим $$ \ frac {\ частичный k_ {t + 1}} {\ частичный k_t} \ Big | _ {\ bar k} & lt; 1 \ подразумевает \ frac {(1- \ delta) + \ sigma A_0 f '(\ полоса k)} {1 + n} & lt; 1 $$

$$ \ подразумевает f '(\ bar k) & lt; \ frac {\ delta + n} {\ sigma A_0} = \ frac {f (\ bar k)} {\ bar k} $$

Поэтому нам нужно, чтобы предельный продукт капитала был меньше среднего продукта в устойчивом состоянии.

Эквивалентно, нам нужно $ \ bar k f '(\ bar k) & lt; f (\ bar k) \ подразумевает f (\ bar k) - \ bar k f '(\ bar k) & gt; 0 $. И это верно, не так ли? Иначе...

Для полноты позвольте мне проиллюстрировать это в рамках непрерывного времени. Уравнение Солоу в простейшем случае имеет вид

$ \ dot {k} = s f (k) - \ delta k = \ phi (k) $

Тогда у нас есть

$ \ frac {\ частичный \ phi} {\ частичный k} = sf '(k) - \ delta = \ frac {sf' (k) k - \ delta k} {k} $.

В стационарном состоянии (то есть, $ \ dot {k} = \ phi (k ^ {\ ast}) = 0 $), мы имеем $ \ delta k = s f (k) $, следовательно

$ \ Влево. \ frac {\ частичный \ phi} {\ частичный k} \ right | _ {k = k ^ {\ ast}} = \ frac {sf 'k - sf (k)} {k} = \ frac {s} { k} f (k) \ left [\ frac {k \ cdot f '} {f (k)} - 1 \ right] $

Поскольку оба значения $ \ frac {s} {k} $ и $ f (k) $ всегда положительны, знак этого выражения зависит от члена в скобках. Но помните, что $ \ frac {k \ cdot f '} {f (k)} $ - это Выходная эластичность капитала , который меньше 1, если $ f $ вогнут в $ k $, что означает, что $ \ frac {\ частичный \ phi} {\ частичный k} $ в $ k ^ {\ ast} $ отрицателен. Поэтому Теорема 3.2.1 в Чжан (2005) устойчивое состояние в модели Солоу устойчиво.