Можно ли вывести кривые безразличия по маршалловской функции спроса?

В двух хороших мирах будет ли маршаллианский спрос функционировать подобно тому, D(p,m)где p - цена одного блага, а m - доход - функция полезности или функция кривой безразличия? Если так, то как можно решить эту проблему?

microeconomics utility consumer-theory

— Говард Блэк
источник

Да, при некоторых условиях. Это классическая проблема интегрируемости : подробное обсуждение см. В некоторых замечательных заметках Ким Бордер .

Требуется несколько других технических условий, но наиболее экономически существенным условием является то, что матрица Слуцкого всегда должна быть симметричной и отрицательной полуопределенной. , если мы определим й элемент матрицы Слуцкого в как тогда мы должны иметь для всех , а также для любого вектора , мы должны иметь для всех необходимости $ij$ $(p,m)$

σ_{i j} (p, m) = \frac{\partial D_{i} (p, m)}{\partial p_{j}} + D_{j} (p, m) \frac{\partial D_{i} (p, m)}{\partial m}

$\sigma_{ij}(p,m)=\frac{\partial D_i(p,m)}{\partial p_j}+D_j(p,m)\frac{\partial D_i(p,m)}{\partial m}$

σ_{i j} (p, m) = σ_{j i} (p, m)

$\sigma_{ij}(p,m)=\sigma_{ji}(p,m)$

(p, m)

$(p,m)$

v

$v$

(p, m)

$(p,m)$

\sum_{i} \sum_{j} σ_{i j} (p, m) v_{i} v_{j} \leq 0

$\sum_i \sum_j \sigma_{ij}(p,m)v_iv_j \leq 0$ из этих условий непосредственно следует из базовой теории потребителей, которая показывает, что если спрос Маршалла получается из ограниченного максимизации функции полезности, то матрица Слуцкого является симметричной и отрицательной полуопределенной. Но достаточность этих условий (в сочетании с некоторыми другими техническими допущениями) для нас, чтобы отказаться от функции полезности, является более сложным вопросом, и чтобы получить подробности, я рекомендую заметки Бордера или какой-то другой продвинутый микроисточник.

Если, предполагая, что условия Слуцкого выполнены , вы хотите грубым практическим способом (игнорируя технические тонкости) отменить кривые безразличия в типичном случае с двумя хорошими случаями, самый простой способ, вероятно, состоит в том, чтобы использовать ваши знания спроса для определения компенсирующего изменения в расходах, которые необходимо скорректировать для данного изменения цен. В частности, для используйте тождество которое, учитывая знание функции спроса по Маршаллу , является дифференциальным уравнением в функции расходов . Начиная с некоторых начальных значений которые выдают неизвестную утилиту $i=1,2$

\frac{\partial e (p, u)}{\partial p_{i}} = h_{i} (p, u) = D_{i} (p, e (p, u))

$\frac{\partial e(p,u)}{\partial p_i} = h_i(p,u) = D_i(p,e(p,u))$

D

$D$

e

$e$

(\bar{p}, \bar{m})

$(\bar{p},\bar{m})$

\bar{u}

$\bar{u}$ мы знаем, что . Затем, изменяя , мы можем интегрировать приведенное выше дифференциальное уравнение для чтобы получить для любого . И тогда мы можем получить вектор спроса Хикса для любого .

e (\bar{p}, \bar{u}) = \bar{m}

$e(\bar{p},\bar{u})=\bar{m}$

p_{1}

$p_1$

i = 1

$i=1$

e (p_{1}, {\bar{p}}_{2}, \bar{u})

$e(p_1,\bar{p}_2,\bar{u})$

p_{1}

$p_1$

h (p_{1}, {\bar{p}}_{2}, \bar{u}) = D (p_{1}, {\bar{p}}_{2}, e (p_{1}, {\bar{p}}_{2}, \bar{u}))

$h(p_1,\bar{p}_2,\bar{u})=D(p_1,\bar{p}_2,e(p_1,\bar{p}_2,\bar{u}))$

p_{1}

$p_1$

Поскольку все эти требования Хиксиана соответствуют одной и той же утилите , они находятся на одной кривой безразличия. Изменяя , мы сможем отследить много разных точек на этой кривой безразличия. На самом деле, если спрос достаточно хорошо себя ведет, мы можем проследить всю кривую безразличия, достаточно меняя в любом направлении. (Между прочим, «отслеживание кривых безразличия» - это все, что мы можем сделать в любом случае: поскольку мощность полезности не имеет отношения к требованию Маршалла, мы можем получить только порядковые свойства, такие как кривые безразличия и их упорядочение.) $\bar{u}$ $p_1$ $p_1$

— номинально жесткий
источник