Устойчивость установившегося равновесия для перекрывающейся модели генерации

Из Дарона Асемоглу «Введение в современный экономический рост» утверждение 9.4 состоит в том, что:

В модели перекрывающихся поколений с двухпериодными жилыми домохозяйствами, технологией Кобба-Дугласа и предпочтениями CRRA существует уникальное устойчивое равновесие с соотношением капитала и труда k *, определяемым формулой (9.15), и до тех пор, пока , это стационарное равновесие является глобально устойчивым для всех k (0)> 0. $\theta \geq 1$

где (9.15):

(1 + n) [1 + β^{- \frac{1}{θ}} (α (k^{*})^{α - 1})^{\frac{θ - 1}{θ}}] = (1 - α) (k^{*})^{α - 1}

$(1+n)[1+\beta^{-\frac{1}{\theta}}(\alpha(k^*)^{\alpha-1})^{\frac{\theta-1}{\theta}}] = (1-\alpha)(k^*)^{\alpha - 1}$

Мой вопрос заключается в том, почему должна быть больше или равна 1, чтобы устойчивое равновесие было глобально устойчивым? $\theta$

Как следует из (9.17) из учебника:

k (t + 1) = \frac{(1 - α) k (t)^{α}}{(1 + n) [1 + β^{- \frac{1}{θ}} (α k (t + 1)^{α - 1})^{\frac{θ - 1}{θ}}]}

$k(t+1)=\frac{(1-\alpha)k(t)^\alpha}{(1+n)[1+\beta^{-\frac{1}{\theta}}(\alpha k(t+1)^{\alpha-1})^{\frac{\theta-1}{\theta}}]}$

Мы можем изменить порядок, чтобы получить:

\begin{aligned} k (t) & = [\frac{1 + n}{1 - α} [k (t + 1) + β^{- \frac{1}{θ}} α^{\frac{θ - 1}{θ}} k (t + 1)^{(α - 1) (1 - \frac{1}{θ}) + 1}]]^{\frac{1}{α}} .....(1) \end{aligned}

$\begin{align} k(t)&=\big[ \frac{1+n}{1-\alpha} [k(t+1)+\beta^{-\frac{1}{\theta}}\alpha^{\frac{\theta-1}{\theta}}k(t+1)^{(\alpha-1)(1-\frac{1}{\theta})+1}] \big]^\frac{1}{\alpha} \text{ .....(1)} \end{align}$

Пусть , , . $n = 0.01$ $\alpha = 0.25$ $\beta = 0.75$

Если , мы можем построить график: $\theta = 1$

Синяя линия - это уравнение (1), где а красная линия - 45-градусная линия. Видно, что для всех k> 0 k будет сходиться к стационарному k *. Стационарное равновесие является глобально устойчивым. $\theta = 1$

Аналогичный случай для , в котором стационарное равновесие является глобально устойчивым. $\theta > 1$

Если , как , мы можем построить график, подобный следующему: $\theta < 1$ $\theta = 0.5$

График похож на график для случая . Устойчивое равновесие все еще глобально устойчиво. $\theta \geq 1$

Я не могу найти случай, когда , но стационарное равновесие не является глобально устойчивым. Кажется, что для определяет форму уравнения (1), что делает устойчивое равновесие глобально устойчивым. Было бы хорошо, если бы кто-нибудь показал мне контрпример, где , но устойчивое равновесие не является глобально устойчивым. Было бы лучше, если бы кто-то мог показать мне, как формально доказать предложение 9.4. $\theta < 1$ $\frac{1}{\alpha} > 1$ $\alpha \in (0,1)$ $\theta < 1$

Подтверждение: графики модифицированы по сравнению с графиками, созданными Wolframalpha.

Изменить (19 апреля 2017 г.) : Случай : обратите внимание, что когда учебник выводит (9.17), он неявно предполагает, что (для вывода уравнения Эйлера для потребления в стр. 333 издания 2009 г. учебник). Когда , уравнение (1) больше не применяется. Возвращаясь к задаче максимизации утилиты с : $\theta = 0$ $\theta \neq 0$ $\theta = 0$ $\theta = 0$

max U (t) = c_{1} (t) + β (c_{2} (t + 1)) such that c_{1} (t) + \frac{c_{2} (t + 1)}{R (t + 1)} = w (t) \Leftrightarrow max U (t) = c_{1} (t) + β (w (t) - c_{1} (t)) R (t + 1) = c_{1} (t) (1 - β R (t + 1)) + β R (t + 1) w (t) ...Should treat R(t+1) as given as consumer's own optimization problem

$\text{max } U(t) = c_1(t) + \beta(c_2(t+1)) \text{ such that } c_1(t) + \frac{c_2(t+1)}{R(t+1)} = w(t) \\ \Leftrightarrow \text{max } U(t) = c_1(t) + \beta(w(t) - c_1(t))R(t+1) = c_1(t) (1 - \beta R(t+1)) + \beta R(t+1)w(t) \\ \text{ ...Should treat R(t+1) as given as consumer's own optimization problem}$

s (t) должен быть неотрицательным для а k (t + 1) неотрицательным. Для , $k(t+1) = \frac{s(t)}{1+n}$

c_{1} (t)^{*} = {\begin{cases} w (t), for β R (t + 1) < 1 \\ [0, w (t)], for β R (t + 1) = 1 \\ 0, for β R (t + 1) > 1 \end{cases}

$c_1(t)^* = \begin{cases} w(t)\text{, for }\beta R(t+1) <1 \\ [0, w(t)]\text{, for }\beta R(t+1) = 1 \\ 0\text{, for }\beta R(t+1) > 1 \\ \end{cases}$

s (t)^{*} = {\begin{cases} 0, for β R (t + 1) < 1 \\ w (t) - c_{1} (t)^{*} \in [0, w (t)], for β R (t + 1) = 1 \\ w (t), for β R (t + 1) > 1 \end{cases}

$s(t)^* = \begin{cases} 0\text{, for }\beta R(t+1) <1 \\ w(t) - c_1(t)^* \in [0, w(t)]\text{, for }\beta R(t+1) = 1 \\ w(t)\text{, for }\beta R(t+1) > 1 \\ \end{cases}$

R (t + 1) = f^{'} (k (t + 1)) = α k (t + 1)^{α - 1}

$R(t+1) = f'(k(t+1)) = \alpha k(t+1)^{\alpha - 1}$

k (t + 1) = \frac{s (t)}{1 + n} = {\begin{cases} 0, for β R (t + 1) < 1 \Leftrightarrow k (t + 1) < (α β)^{\frac{1}{1 - α}} \\ \frac{w (t) - c_{1} (t)}{1 + n} \in [0, \frac{w (t)}{1 + n}], for β R (t + 1) = 1 \Leftrightarrow k (t + 1) = (α β)^{\frac{1}{1 - α}} \\ \frac{w (t)}{1 + n} = \frac{k (t)^{α} - k (t) α k (t)^{α - 1}}{1 + n} = \frac{1 - α}{1 + n} k (t)^{α}, otherwise \Leftrightarrow k (t) > [\frac{1 + n}{1 - α} (α β)^{\frac{1}{1 - α}}]^{\frac{1}{α}} \end{cases}

$k(t+1) = \frac{s(t)}{1+n} = \begin{cases} 0\text{, for }\beta R(t+1) <1 \Leftrightarrow k(t+1) < (\alpha \beta)^{\frac{1}{1 - \alpha}} \\ \frac{w(t) - c_1(t)}{1+n} \in [0, \frac{w(t)}{1+n}]\text{, for }\beta R(t+1) = 1 \Leftrightarrow k(t+1) = (\alpha \beta)^{\frac{1}{1 - \alpha}}\\ \frac{w(t)}{1+n} = \frac{k(t)^\alpha - k(t)\alpha k(t)^{\alpha -1}}{1+n} = \frac{1-\alpha}{1+n}k(t)^\alpha\text{, otherwise} \Leftrightarrow k(t) > [\frac{1+n}{1 - \alpha} (\alpha \beta)^{\frac{1}{1 - \alpha}}]^{\frac{1}{\alpha}} \\ \end{cases}$

Случаи:
Случай 1: : поскольку производственная функция есть Кобб-Дуглас, она удовлетворяет Условие Инада: . Но так как , для as , нарушая условие Инады. Это противоречие означает, что этот случай невозможен. $\beta R(t+1) < 1 \Leftrightarrow R(t+1) < \frac{1}{\beta}$ $f(k)$ $lim_{k(t) \to 0} f'(k(t)) = \infty$ $f'(k(t)) = R(t)$ $lim_{k(t) \to 0} R(t) < \infty$ $R(t) < \frac{1}{\beta} < \infty$ $\beta \in (0,1)$

Случай 2: : Обозначим норму сохранения при t как . . В стационарном состоянии , что означает . Для $\beta R(t+1) = 1 \Leftrightarrow \beta \alpha k(t+1)^{\alpha-1} = 1 \Leftrightarrow k(t+1)^{\alpha-1} = \frac{1}{\alpha \beta} \Leftrightarrow k(t+1)^{1-\alpha} = \alpha \beta$ $\mathcal{S}(t) = \frac{s(t)}{w(t)}$ $k(t+1) = \frac{s(t)}{1+n} = \frac{\mathcal{S}(t)w(t)}{1+n} = \frac{\mathcal{S}(t)(1-\alpha)k(t)^\alpha}{1+n}$ $k^* = \frac{\mathcal{S}^*(1-\alpha){k^*}^\alpha}{1+n}$ $\mathcal{S}^* = \frac{1+n}{1-\alpha}{k^*}^{1-\alpha} = \frac{1+n}{1-\alpha} \alpha \beta$ $\mathcal{S}^* > 1 \Leftrightarrow (1+n)\alpha\beta > 1 - \alpha \Leftrightarrow \beta > \frac{1 - \alpha}{\alpha (1+n)}$ , что возможно. Поскольку норма сбережений не может быть больше 1, это противоречие означает, что этот случай невозможен.

Случай 3: : этот случай возможен. Мы можем нарисовать график: красная линия - линия 45 градусов. Синяя линия - это где . Для всех k (0)> 0, k будет сходиться к установившемуся состоянию . Стационарное равновесие является глобально устойчивым. $\beta R(t+1) > 1$

k (t + 1) = \frac{1 - α}{1 + n} k (t)^{α}

$k(t+1) = \frac{1-\alpha}{1+n} k(t)^\alpha$

k (t + 1) = \frac{1 - α}{1 + n} k (t)^{α}

$k(t+1) = \frac{1-\alpha}{1+n} k(t)^\alpha$

0 < α < 1

$0 < \alpha < 1$

k^{*} = \frac{1 - α}{1 + n} {k^{*}}^{α} \Leftrightarrow k^{*} = [\frac{1 - α}{1 + n}]^{\frac{1}{1 - α}}

$k^* = \frac{1-\alpha}{1+n} {k^*}^\alpha \Leftrightarrow k^* = [\frac{1-\alpha}{1+n}]^{\frac{1}{1-\alpha}}$

macroeconomics economic-growth

— Крис Чунг
источник

В п. 334 книги (издание 2009 года) я читаю:

Предложение 9.4. В модели перекрывающихся поколений с двухпериодными жилыми домохозяйствами, технологией Кобба-Дугласа и предпочтениями CRRA существует уникальное равновесие в стационарном состоянии с соотношением капитала и труда определяемым формулой (9.15), и для любого это стационарное равновесие является глобально устойчивым для всех k (0)> 0. $k^*$ $\theta >0$

... он не говорит "... до тех пор, пока ". $\theta \geq 1$

ДОБАВЛЕНИЕ: дело $\theta =0$

ОП разработал случай . Итак, давайте попробуем решить это. $\theta=0$

Здесь межвременная полезность становится линейной в потреблении. Кроме того, мы позволим потреблению быть равным нулю - предположим, что существует экзогенная одаренность, которая заботится о биологических потребностях людей здесь и не может использоваться для каких-либо других целей, поэтому выбор потребления не зависит от выживания. Тем не менее, нас интересуют экономически интересные случаи, поэтому мы исключаем случай поскольку это будет означать, что запас капитала будет равен нулю, и экономика остановится. Поэтому мы допускаем только для . Затем, включив ограничение равенства в целевую функцию, мы решаем $c_2=0$ $c_1=0$

max U = c_{1} (t) + β R (t + 1) [w (t) - c_{1} (t)] s . t . 0 \leq c_{1} (t) < w (t)

$\max U = c_1(t) + \beta R(t+1)[w(t)-c_1(t)]\;\;\; s.t.\;\; 0\leq c_1(t) < w(t)$

Итак, лагранжиан

Λ = c_{1} (t) + β R (t + 1) [w (t) - c_{1} (t)] + λ c_{1} (t)

$\Lambda = c_1(t) + \beta R(t+1)[w(t)-c_1(t)] + \lambda c_1(t)$

и фокус

1 - β R (t + 1) + λ \leq 0, (1 - β R (t + 1) + λ) \cdot c_{1} (t) = 0

$1 - \beta R(t+1) +\lambda \leq 0,\;\;\;\; (1 - \beta R(t+1) +\lambda)\cdot c_1(t) = 0$

Я буду игнорировать вопросы условий второго порядка по максимуму.

Случай 1. Предположим, что

c_{1}^{*} (t) > 0 ⟹ λ = 0 ⟹ 1 = β R (t + 1)

$c_1^*(t) >0 \implies \lambda=0 \implies 1 = \beta R(t+1)$

⟹ 1 = β a k (t + 1)^{a - 1} ⟹ k (t + 1) = (a β)^{1 / (1 - a)}

$\implies 1 = \beta ak(t+1)^{a-1} \implies k(t+1) = (a\beta)^{1/(1-a)}$

Но это должно выполняться для всех периодов времени, поэтому оно может выполняться только для определенного значения начального вклада капитала, а не для всех . Итак, мы уже видим, что этот случай не удовлетворяет условиям, для которых сформулировано предложение 9.4. $k(0) >0$

Случай 2. Предположим, что

c_{1}^{*} (t) = 0 ⟹ λ > 0 ⟹ 1 - β R (t + 1) + λ \leq 0 ⟹ β R (t + 1) > 1

$c_1^*(t) =0 \implies \lambda>0 \implies 1 - \beta R(t+1) +\lambda \leq 0 \implies \beta R(t+1) > 1$

⟹ β a k (t + 1)^{a - 1} > 1 ⟹ k (t + 1) < (a β)^{1 / (1 - a)}

$\implies \beta ak(t+1)^{a-1} >1 \implies k(t+1) < (a\beta) ^{1/(1-a)}$

Здесь основной капитал должен оставаться ниже определенного фиксированного уровня во все периоды времени. Опять же, это накладывает ограничения на стоимость первоначального основного капитала . $k(0)$

Таким образом, в обоих случаях, если существует стационарное равновесие, оно не может быть « глобально устойчивым для всех ». $k(0)>0$

— Алекос Пападопулос
источник

Кажется, я читаю издание книги 2007 года, которая является черновой версией. Но даже если , уравнение 1 становится , график с уравнением 1 и 45-градусной линией будет аналогичен показанному в моем посте, устойчивое равновесие все еще будет глобально устойчивым. Я прав?

θ = 0

$\theta = 0$

k (t) = [\frac{1 + n}{1 - α} k (t + 1)]^{\frac{1}{α}}

$k(t) = [\frac{1+n}{1-\alpha}k(t+1)]^{\frac{1}{\alpha}}$

— Крис Чунг

@ChrisCheung Я бы предложил вернуться к началу этой проблемы оптимизации утилит и решить ее с помощью , а также посмотреть, что происходит с нормой сбережений.

θ = 0

$\theta =0$

— Алекос Пападопулос

Я сделал следующие вычисления: Условие первого порядка по дает: Тогда . Это означает, что стационарное равновесие, где является глобально устойчивым, так как даже k отклоняется от течение одного периода, следующий период k вернется в стационарное состояние k ^ *. Я прав?

max U (t) = c_{1} (t) + β (w (t) - c_{1} (t)) R (t + 1) = w (t) - s (t) + \frac{α β}{(1 + n)^{α - 1}} s (t)^{α}

$\text{max } U(t) = c_1(t) + \beta(w(t) - c_1(t))R(t+1) \\ = w(t) - s(t) + \frac{\alpha\beta}{(1+n)^{\alpha - 1}} s(t)^\alpha$

s (t)

$s(t)$

s (t)^{*} = (1 + n) (α^{2} β)^{\frac{1}{1 - α}}

$s(t)^* = (1+n)(\alpha^2 \beta)^{\frac{1}{1 - \alpha}}$

k (t + 1) = \frac{s (t)}{1 + n} = (α^{2} β)^{\frac{1}{1 - α}},a constant

$k(t+1) = \frac{s(t)}{1+n} = (\alpha^2 \beta)^{\frac{1}{1 - \alpha}}\text{ ,a constant}$

k^{*} = (α^{2} β)^{\frac{1}{1 - α}}

$k^* = (\alpha^2 \beta)^{\frac{1}{1 - \alpha}}$

k^{*}

$k^*$

— Крис Чунг

@ChrisCheung Проблема в случае заключается в том, что делает использование линейным в потреблении (как одновременным, так и межвременным), что порождает проблемы уникальности. Также у меня складывается впечатление, что вы дифференцировали валовую процентную ставку в отношении сбережений, но это решение «централизованного планирования», а не конкурентное, где факторные вознаграждения рассматриваются индивидуумами как рыночные и столь экзогенные по отношению к их проблемы оптимизации.

θ = 0

$\theta =0$

— Алекос Пападопулос

Спасибо, что напомнили мне, что это не проблема централизованного планирования. Я добавил свой вывод для случая внизу моего вопроса. Но я не вижу, чтобы в этом случае возникали проблемы уникальности. Я думаю, что также может быть включено в качестве условия, когда стационарное равновесие является глобально устойчивым. Можете ли вы объяснить, почему случай создает проблему уникальности?

θ = 0

$\theta = 0$

θ = 0

$\theta = 0$

θ = 0

$\theta=0$

— Крис Чунг