Лог-линеаризация уравнения Эйлера с условием ожидания

10

Есть несколько онлайн-ресурсов, которые могут помочь с линеаризацией лога (например, здесь или здесь ). Однако, линеаризация лога, где задействовано ожидание, немного сложна, потому что журнал не может просто «пройти» через оператор ожидания. Может ли кто-нибудь помочь с алгеброй в этом примере?

У меня есть уравнение Эйлера (уравнение 1) где . Я пытаюсь получить выражение для безрисковой ставки и выражение для премии на акции. Как мне это сделать?

1 = E_{t} [{δ {(\frac{C_{t + 1}}{C_{t}})}^{- 1 / ψ}}^{θ} {\frac{1}{1 + R_{m, t + 1}}}^{1 - θ} 1 + R_{i, t + 1}]

$1 = E_t \left [ \left \{ \delta \left (\frac{C_{t+1}}{C_t} \right )^{-1/\psi} \right \}^\theta \left \{ \frac{1}{1 + R_{m,t+1}} \right \}^{1 - \theta} 1 + R_{i, t+1} \right ]$

θ = (1 - γ) / (1 - 1 / ψ)

$\theta = ( 1 -\gamma)/(1 - 1/\psi)$

Как видно из второй ссылки выше, я должен начать с замены интересующих переменных, например, . Затем, следуя приведенным шагам, кажется, что я должен прийти к (уравнение 2) $C_t = c e^{\tilde C_t}$

\begin{aligned} 1 знак равно Е_{T} [{δ {(\frac{{\tilde{С}}_{T + 1} + 1}{{\tilde{С}}_{T} + 1})}^{- 1 / ψ}}^{θ} {\frac{1}{(1 + р_{м}) [\tilde{(1 + р_{м, T + 1})} + 1]}}^{1 - θ} \cdot \cdot [(1 + р_{я}) [\tilde{(1 + р_{я, T + 1})} + 1]]], \end{aligned}

$\begin{align} 1 = E_t \left [ \left \{ \delta \left (\frac{\tilde C_{t+1} + 1}{\tilde C_t + 1} \right )^{-1/\psi} \right \}^\theta {} \left \{ \frac{1}{(1 + R_m)[\widetilde{(1 + R_{m,t+1})} + 1]} \right \}^{1 - \theta} \cdot \\ \cdot [(1 + R_i)[\widetilde{(1 + R_{i, t+1})} + 1]] \right ]. \end{align}$

Но куда мне идти отсюда?

РЕДАКТИРОВАТЬ:

Я скопировал уравнение 1 непосредственно из моих заметок. Вероятно, это тот случай, когда термин справа должен быть в скобках . В моей первоначальной попытке логарифмирования я отнесся к этому так. $1 + R_{i,t+1}$ $(1 + R_{i,t+1})$
В уравнении 2 я следовал инструкциям инструкции, которые можно найти во второй ссылке в начале. Итак, и без учета времени являются этими значениями в установившемся режиме. $R_i$ $R_m$
$R_m$ - это доходность рыночного портфеля, а - это доходность актива . $R_i$ $i$

РЕДАКТИРОВАТЬ 2:

Спасибо за полезные комментарии. Итак, из того, что я собрал до сих пор, я должен получить что-то вроде этого:

\begin{aligned} 1 & = E_{t} [δ^{θ} (1 - \frac{θ}{ψ} ({\tilde{C}}_{t + 1} - {\tilde{C}}_{t}) (1 + R_{m})^{θ - 1} (θ - 1) (1 + {\tilde{R}}_{m, t} \frac{R_{m}}{1 + R_{m}}) \\ \cdot (1 + R_{i}) ((1 + {\tilde{R}}_{i, t} \frac{R_{i}}{1 + R_{i}})] \end{aligned}

$\begin{align} 1 &= E_t \left [ \delta^\theta (1 - \frac \theta \psi (\tilde C_{t+1} - \tilde C_t ) (1 + R_m)^{\theta - 1} (\theta - 1) \left ( 1 + \tilde R_{m,t} \frac{R_m}{1 + R_m} \right ) \right .\\ & \left . \, \cdot (1 + R_i) \left ( (1 + \tilde R_{i,t} \frac{ R_i}{1 + R_i} \right ) \right ] \end{align}$

Тогда это будет означать, что безрисковая ставка определяется следующим образом:

\begin{aligned} 1 & = Е_{T} [δ^{θ} (1 - \frac{θ}{ψ} ({\tilde{С}}_{T + 1} - {\tilde{С}}_{T}) (1 + р_{м})^{θ - 1} (θ - 1) (1 + {\tilde{р}}_{м, T} \frac{р_{м}}{1 + р_{м}}) (1 + р_{е})] \\ 1 & знак равно Е_{T} [м_{T + 1} (1 + р_{е})] \\ \frac{1}{Е_{T} [м_{T + 1}]} & знак равно 1 + р_{е}, \end{aligned}

$\begin{align} 1 &= E_t \left [ \delta^\theta (1 - \frac \theta \psi (\tilde C_{t+1} - \tilde C_t ) (1 + R_m)^{\theta - 1} (\theta - 1) \left ( 1 + \tilde R_{m,t} \frac{R_m}{1 + R_m} \right ) (1 + R_f) \right ] \\ 1 &= E_t[ m_{t+1} (1 + R_f)] \\ \frac{1}{E_t[m_{t+1}]} &= 1 + R_f. \end{align}$

Это правильно? А теперь, чтобы закончить вопрос, как мне найти премию за акции?

macroeconomics asset-pricing

— ethan1410
источник

Я в бегах, но у тебя есть доступ к книге Гали? Я думаю, что он делает это широко, iirc

— FooBar

Нет. Будет ли это его книга о денежно-кредитной политике? «Денежно-кредитная политика, инфляция и деловой цикл?»

— ethan1410

Последнее равенство, которое вы дали (1 над безрисковой ставкой равно ожиданию sdf), всегда верно, так что это хороший знак. Чтобы найти премию за акцию, найдите цену , стоимость требования к рынку, затем

E_{t} [m_{t + 1} (1 + R_{m})]

$E_t[m_{t+1}(1+R_m)]$

— вычтите

4

Давайте пока проигнорируем существование ожидаемого значения. Если бы это была детерминистическая установка, линеаризация с помощью регистрации логов была бы простой и без уловок ссылок, предоставленных OP. Взяв натуральные бревна с обеих сторон первого уравнения, получим:

\begin{matrix} (1) & 0 знак равно θ пер δ - \frac{θ}{ψ} пер (\frac{С_{T + 1}}{С_{T}}) - (1 - θ) пер (1 + р_{м, T + 1}) + пер (1 + р_{я, T + 1}) \end{matrix}

$0 = \theta \ln \delta-\frac {\theta}{\psi}\ln \left (\frac{C_{t+1}}{C_t} \right )-(1-\theta) \ln(1 + R_{m,t+1}) + \ln (1 + R_{i, t+1}) \tag{1}$

Установлен

\begin{matrix} (2) & {\hat{c}}_{t + 1} = \frac{C_{t + 1} - C_{t}}{C_{t}} \Rightarrow \frac{C_{t + 1}}{C_{t}} = 1 + {\hat{c}}_{t + 1} \end{matrix}

$\hat c_{t+1} = \frac{C_{t+1}-C_t}{C_t} \Rightarrow \frac{C_{t+1}}{C_t} = 1+\hat c_{t+1} \tag{2}$

Также обратите внимание, что это стандартное приближение записать по крайней мере, для . Обычно это касается темпов роста и финансовых показателей, поэтому мы получаем $\ln (1+a) \approx a$ $|a|<0.1$

\begin{matrix} (3) & 0 = θ \ln δ - \frac{θ}{ψ} {\hat{c}}_{t + 1} - (1 - θ) R_{m, t + 1} + R_{i, t + 1} \end{matrix}

$0 = \theta \ln \delta-\frac {\theta}{\psi}\hat c_{t+1} -(1-\theta) R_{m,t+1} + R_{i, t+1} \tag{3}$

это четкое динамическое отношение, связывающее три присутствующие переменные. Если в модели стационарное состояние характеризуется постоянным потреблением и постоянной прибылью, то при этом у нас будет и поэтому установившееся соотношение будет $\hat c_{t+1} =0$

\begin{matrix} (4) & р_{я} знак равно - θ пер δ + (1 - θ) р_{м} \end{matrix}

$R_{i} = - \theta \ln \delta + (1-\theta) R_{m} \tag{4}$

Но мы сделали все это, игнорируя ожидаемую стоимость. Наше выражение , а не просто . Введите разложение Тейлора первого порядка . Нам нужен центр расширения. Представьте четыре переменные просто как (не повредит, что переменная с -индексом присутствует в ). Мы решили расширить функцию вокруг . Так $E_t\left[f\left(C_t, C_{t+1},R_{m,t+1},R_{i,t+1} \right)\right]$ $f\left(C_t, C_{t+1},R_{m,t+1},R_{i,t+1} \right)$ $f()$ $\mathbf z_{t+1}$ $t$ $\mathbf z_{t+1}$ $E_t(\mathbf z_{t+1})$

\begin{matrix} (5) & е (Z_{T + 1}) \approx е (Е_{T} [Z_{T + 1}]) + \nabla е (Е_{T} [Z_{T + 1}]) \cdot (Z_{T + 1} - Е_{T} [Z_{T + 1}]) \end{matrix}

$f\left(\mathbf z_{t+1}\right) \approx f\left(E_t[\mathbf z_{t+1}]\right) + \nabla f\left(E_t[\mathbf z_{t+1}]\right)\cdot \big(\mathbf z_{t+1}-E_t[\mathbf z_{t+1}]\big) \tag{5}$

потом

\begin{matrix} (6) & Е_{T} [е (Z_{T + 1})] \approx е (Е_{T} [Z_{T + 1}]) \end{matrix}

$E_t\left[f\left(\mathbf z_{t+1}\right)\right] \approx f\left(E_t[\mathbf z_{t+1}]\right) \tag{6}$

Очевидно, что это приближение, т.е. оно имеет ошибку, хотя бы только из-за неравенства Дженсена. Но это стандартная практика. Затем мы видим, что всю предыдущую работу, которую мы проделали над детерминированной версией, можно применить в стохастической версии, вставляя условные ожидаемые значения вместо переменных. Итак, уравнение написано $(3)$

\begin{matrix} (7) & 0 знак равно θ пер δ - \frac{θ}{ψ} Е_{T} [{\hat{с}}_{T + 1}] - (1 - θ) Е_{T} [р_{м, T + 1}] + Е_{T} [р_{я, T + 1}] \end{matrix}

$0 = \theta \ln \delta-\frac {\theta}{\psi}E_t[\hat c_{t+1}] -(1-\theta) E_t[R_{m,t+1}] + E_t[R_{i, t+1}] \tag{7}$

Но где же установившиеся значения ? Ну, значения стационарного состояния в стохастическом контексте немного сложнее - мы утверждаем, что наши переменные (которые теперь рассматриваются как случайные переменные) становятся константами ? Или есть другой способ определить устойчивое состояние в стохастическом контексте?

Есть несколько способов. Одним из них является «устойчивое состояние совершенного предвидения», где мы прогнозируем совершенно необязательно постоянное значение (это понятие «равновесие как удовлетворенные ожидания»). Это, например, используется в книге Джорди Гали, упомянутой в комментарии. «Стабильное предвидение» определяется как

\begin{matrix} (8) & Е_{T} ({Икс}_{T + 1}) знак равно {Икс}_{T + 1} \end{matrix}

$E_t(x_{t+1}) = x_{t+1} \tag{8}$

Согласно этой концепции, экв. становится уравнением которое теперь является «стохастическим устойчивым устойчивым состоянием» в уравнении идеальной экономики. $(7)$ $(3)$

Если мы хотим более сильное условие, говоря, что переменные становятся постоянными в стационарном состоянии, то также разумно утверждать, что, опять же, их прогноз в конечном итоге будет идеальным. В этом случае устойчивое состояние стохастической экономики такое же, как и у детерминированной экономики, т.е. . $(4)$

— Алекос Пападопулос
источник

@jmbejara Это совершенно правильно . Это ожидаемое значение усеченного приближения функции Тейлора первого порядка. Вы не согласны с этим? Считаете ли вы, что это неоптимальное приближение, это другой вопрос, связанный с тем, какие критерии вы используете для оценки качества и адекватности приближения.

— Алекос Пападопулос

ОК. У вас есть точка. Но, как вы говорите, я не уверен, что лучше всего в этой ситуации. Но, безусловно, существуют разные способы решения этой проблемы. Об уклоне определенно можно что-то сказать, но вы подняли хороший вопрос. Я отменю голосование, как только это позволит мне.

— Джмбехара

3

Правильное приближение: . Это непредвзято, тогда как нет. Чтобы увидеть это, спроектируйте на , где "bar" представляет оператор ожидания. Тогда приблизительный Это приближение является точным, когда нормально распределен (по лемме Стейна). $f(x) \approx E[f(x)] + E[f'(x)] (x - E[x])$ $f(x) \approx E[f(x)] + f'(E[x]) (x - E[x])$ $f(x) - \overline{f(x)}$ $x - \bar x$

\frac{Cov (е (Икс), Икс)}{Вар (х)} \approx Е [е^{'} (Икс)],

$\frac{\text{Cov}(f(x), x)}{\text{Var(x)}} \approx E[f'(x)].$

x

$x$

РЕДАКТИРОВАТЬ:

Для пояснения, смотрите, что проекция на дает нам , где и . Если мы используем лемму Стейна для аппроксимации как описано выше, мы получим который беспристрастен, С другой стороны, $f(x) - \overline{f(x)}$ $x - \bar x$ $f(x) - \overline{f(x)} = \beta (x - \bar x) + \epsilon$ $E[\epsilon] = E[\epsilon x] = 0$ $\beta = \frac{\text{Cov}(f(x), x)}{\text{Var(x)}}$ $\beta$

е (Икс) \approx Е [е (Икс)] + Е [е^{'} (Икс)] (Икс - \bar{Икс}) + ε,

$f(x) \approx E[f(x)] + E[f'(x)] (x - \bar x) + \epsilon,$

Е [ε] знак равно 0.

$E[\epsilon] = 0.$

Е [е (Е [Икс]) + е^{'} (Е [Икс]) (Икс - Е [Икс])] знак равно е (Е [Икс]) \neq Е [е (Икс)],

$E[f(E[x]) + f'(E[X]) (x - E[x])] = f(E[x]) \neq E[f(x)].$

— jmbejara
источник

Было бы полезно, если бы вы могли включить в свой ответ подробный вывод приближения .

f (x) \approx E [f (x)] + E [f^{'} (x)] (x - E [x])

$f(x) \approx E[f(x)] + E[f'(x)] (x - E[x])$

— Алекос Пападопулос

Спасибо за усиление вашего ответа. Чтобы оставаться близко к вопросу, у ОП есть функция и он хочет манипулировать ее ожидаемым значением. Поэтому он должен решить выражение, которое вы пишете для и получить

f (x)

$f(x)$

E [f (x)]

$E[f(x)]$

Е [е (Икс)] \approx е (Икс) - \frac{Cov (е (Икс), Икс)}{Var (Икс)} \cdot [Икс - Е (Икс)] ?

$E[f(x)] \approx f(x) - \frac {\text{Cov}(f(x),x)}{\text{Var}(x)}\cdot [x-E(x)]?$

— Алекос Пападопулос

3

Ваша проблема выглядит как уравнение ценообразования активов с рекурсивными предпочтениями (Эпштейна-Зина). Когда интересуются ценами на активы, нужно быть осторожным с обычной «макроэкономической» линеаризацией. Такое приближение эквивалентно по определенности, что означает, что коэффициенты линеаризованного решения не зависят от величины ударов. Более того, все переменные в линеаризованном решении будут колебаться вокруг своих детерминированных стационарных состояний. В результате премии за риск равны нулю, что не поддается никакому определению.

Одним из решений является использование методов возмущений более высокого порядка (2-й порядок для получения премий с постоянным риском, 3-й порядок для премий с изменяющимся во времени). Это легко сделать с существующим программным обеспечением (например, Dynare), если вы все равно хотите численно решить модель (в этом случае также нет необходимости линеаризовать вручную). Если вместо этого предпочтительным является аналитическое (приблизительное) решение, то обычным способом является линеаризация динамики величин (например, рост потребления), а затем получение цен на активы непосредственно из уравнения Эйлера, вычисление ожиданий с использованием предположения о ненормальности, как в Bansal & Yaron (2004) .

Например, если строчные переменные являются логами, обычное уравнение Эйлера можно переписать как

1 знак равно Е_{T} [ехр (м_{T + 1} + р_{T + 1})]

$1 = E_t [\exp(m_{t+1} + r_{t+1})]$

Если (условно) совместно нормальны, из вышесказанного следует, что $m_{t+1},r_{t+1}$

\begin{matrix} (1) & 0 знак равно Е_{T} [м_{T + 1}] + Е_{T} [р_{T + 1}] + \frac{1}{2} {В a р_{T} [м_{T + 1}] + В a р_{T} [р_{T + 1}] + 2 С о v_{T} [м_{T + 1}, р_{T + 1}]} \end{matrix}

$0 = E_t[m_{t+1}] + E_t[r_{t+1}] + \frac{1}{2} \left\{ Var_t[m_{t+1}] + Var_t[r_{t+1}] + 2 Cov_t[m_{t+1},r_{t+1}] \right\} \tag{1}$

Безрисковая ставка должна удовлетворять или $\exp(-r^f_t) = E_t[\exp(m_{t+1})]$

р_{T}^{е} знак равно - Е_{T} [м_{T + 1}] - \frac{1}{2} В a р_{T} [м_{T + 1}]

$r^f_t = -E_t[m_{t+1}] - \frac{1}{2} Var_t[m_{t+1}]$

и поэтому мы должны иметь

Е_{T} [р_{T + 1}] - р_{T}^{е} + \frac{1}{2} В a р_{T} [р_{T + 1}] знак равно С о v_{T} [м_{T + 1}, р_{T + 1}]

$E_t[r_{t+1}] - r^f_t + \frac{1}{2}Var_t[r_{t+1}] = Cov_t[m_{t+1},r_{t+1}]$

Чтобы на самом деле рассчитать цены активов, тогда

выразить log-SDF как линейную функцию некоторых переменных состояния и шоков (например, рост потребления журнала в случае CRRA)
линеаризовать доходность с точки зрения логарифмического отношения дивиденд-цена (приближение Кэмпбелла-Шиллера), подставить его в (1).
Выразите логарифмическое отношение D / P как линейное в переменных состояния, затем используйте метод неопределенных коэффициентов, чтобы получить решение для него, которое удовлетворяет (1).

На практике это немного сложнее (особенно с предпочтениями EZ, когда нужно сначала использовать подход, чтобы получить рыночную доходность, которая входит в SDF, а затем во второй раз для другой доходности), но более подробную информацию можно найти, например, в связанном банзале и Yaron. бумага.

— ivansml
источник

1

В точку. Похоже, что путаница в этой теме произошла из-за того факта, что в приближении первого порядка уравнения Эйлера для оценки активов нет премии за риск. (Ковариантность между SDF и return, конечно же, по сути является вторым порядком.) Спасибо за разъяснение этого.

— номинально жесткая