Тождества Роя для полезных функций Стоуна-Гири

У меня проблемы с отображением идентификатора Роя для следующей полезной функции Stone-Geary:

U (x) = \prod_{i = 1}^{n} {(x_{i} - γ_{i})}^{β_{i}}

$U(x)=\prod_{i=1}^n\left(x_i-\gamma_i\right)^{\beta_i}$

где и - минимальное потребление . $\sum \beta_i=1$ $\gamma_i$ $x_i$

Я показал, что спрос Маршалла (который я подтвердил, используя несколько источников)

x_{i} = γ_{i} + \frac{β_{i} (I - \sum_{j = 1}^{n} p_{j} γ_{j})}{p_{i}}

$x_i=\gamma_i+\frac{\beta_i\left(I-\sum_{j=1}^np_j\gamma_j\right)}{p_i}$

Следовательно, косвенная функция полезности

V (x) = \prod_{i = 1}^{n} {(\frac{β_{i} (I - \sum_{j = 1}^{n} p_{j} γ_{j})}{p_{i}})}^{β_{i}}

$V(x)=\prod_{i=1}^n\left(\frac{\beta_i \left(I-\sum_{j=1}^np_j\gamma_j \right)}{p_i} \right)^{\beta_i}$

Я применил монотонное преобразование для упрощения косвенной функции полезности:

W (x) = \sum_{i = 1}^{n} β_{i} ((\ln (β_{i}) + \ln (I - \sum_{j = 1}^{n} p_{j} γ_{j})) - \ln (p_{i}))

$W(x)=\sum_{i=1}^n\beta_i\left(\left(\ln(\beta_i)+\ln \left(I-\sum_{j=1}^np_j\gamma_j \right)\right)-\ln(p_i)\right)$

Следовательно,

\frac{δ W}{δ p_{i}} = \frac{- β_{i} γ_{i}}{I - \sum_{j = 1}^{n} p_{j} γ_{j}} - \frac{β_{i}}{p_{i}}

$\frac{\delta W}{\delta p_i}=\frac{-\beta_i\gamma_i}{I-\sum_{j=1}^np_j\gamma_j}-\frac{\beta_i}{p_i}$

\frac{δ W}{δ I} = \frac{β_{i}}{I - \sum_{j = 1}^{n} p_{j} γ_{j}}

$\frac{\delta W}{\delta I}=\frac{\beta_i}{I-\sum_{j=1}^np_j\gamma_j}$

- \frac{δ W / δ p_{i}}{δ W / δ I} = γ_{i} + \frac{I - \sum_{j = 1}^{n} p_{j} γ_{j}}{p_{i}}

$-\frac{\delta W / \delta p_i}{\delta W / \delta I}=\gamma_i+\frac{I-\sum_{j=1}^np_j\gamma_j}{p_i}$

По сути, как видите, что-то не складывается: в числителе отсутствует . Таким образом, неравенство Роя не проверяется. Где я все испортил? $\beta_i$

(Примечание: я также пытался без преобразования. Это гораздо более утомительный процесс, но он дал тот же ответ; все еще отсутствовал) $\beta_i$

microeconomics mathematical-economics

— Grizzly0111
источник

V (x)

$V(x)$

\ln (V (x))

$\ln(V(x))$

@Monir Это линейное преобразование, не правда ли?

— Grizzly0111

\ln (a + b) \neq \ln (a) + \ln (b)

$\ln(a+b)\neq\ln(a)+\ln(b)$

\ln (V (x))

$\ln(V(x))$

V^{'} (x) / V (x)

$V'(x)/V(x)$

V (x)

$V(x)$

V^{'} (x)

$V'(x)$

@Monir Вы правы: я имел в виду монотонное преобразование, а не линейное. Кроме того, я должен был изменить имя моей преобразованной функции полезности. Я отредактирую вопрос; Обратитесь к этому

— Grizzly0111

$\ln$

\sum_{i = 1}^{n} p_{i} γ_{i} < I

$\sum_{i=1}^n p_i \gamma_i < I$

В любом случае, ваша ошибка в производных, которые вы найдете. Вот правильные выражения:

\frac{\partial W}{\partial p_{i}} = - γ_{i} \sum_{j = 1}^{n} \frac{β_{j}}{I - \sum_{k = 1}^{n} p_{k} γ_{k}} - \frac{β_{i}}{p_{i}} = - \frac{γ_{i}}{I - \sum_{j = 1}^{n} p_{j} γ_{j}} - \frac{β_{i}}{p_{i}}

$\frac{\partial W}{\partial p_i} = -\gamma_i \sum_{j=1}^n \frac{\beta_j}{I - \sum_{k=1}^n p_k \gamma_k} - \frac{\beta_i}{p_i} = -\frac{\gamma_i}{I - \sum_{j=1}^n p_j \gamma_j} - \frac{\beta_i}{p_i}$

\frac{\partial W}{\partial I} = \sum_{j = 1}^{n} \frac{β_{j}}{I - \sum_{k = 1}^{n} p_{k} γ_{k}} = \frac{1}{I - \sum_{j = 1}^{n} p_{j} γ_{j}}

$\frac{\partial W}{\partial I} = \sum_{j=1}^n \frac{\beta_j}{I - \sum_{k=1}^n p_k \gamma_k} = \frac{1}{I - \sum_{j=1}^n p_j \gamma_j}$

Затем личность Роя дает вам маршаллианское требование, которое вы изначально и правильно получили.

— Экономист-теоретик
источник