Разница между представлением функции LM в разных учебниках

В Blanchard уравнение кривой LM представляется следующим образом:

$$ \ frac {M} {P} = L (y, r) $$ Принимая во внимание, что в Брэнсоне это дано как

$$ \ frac {M} {P} = L (r) + k (y) $$

L (r) - спекулятивный спрос на деньги, а k (y) - спрос на транзакции.

Как уместны оба представления? Можем ли мы сделать это для любых двух (или более) переменных функций?

Функция $ L (y, r) $ является заполнителем для любой Правило, которое говорит

«Дайте мне $ y $ и $ r $, и я выплюну значение для $ L $».

Например, мы могли бы иметь

1. $ L (y, r) \ эквивалент y + r $;
2. $ L (y, r) \ эквивалент y + \ cos (y) + \ sin (r) $;
3. $ L (y, r) \ эквивалент y \ ln (r) $;
4. $ L (y, r) \ эквивалента год $;
5. и т.п.

$ L (r) + k (y) $ накладывает дополнительное ограничение. Мы больше не выбираем никаких правил. Теперь нам разрешено использовать только те правила, в которых любые термины, содержащие $ r $, отделены от тех, которые включают $ y $, на $ + $. мы называем такую ​​функцию «аддитивно отделимой».

Таким образом, в формулировку Брэнсона входят такие правила, как 1 и 2 выше, но не 3 и 4 (поскольку последние два не аддитивно разделимы).

Это дополнительное ограничение означает, что функция Бланшара более общий формулировка, чем в Брэнсоне.

Если у нас есть результат, который мы знаем как истинный для любой функции $ f (x_1, \ ldots, x_n) $, то мы автоматически знаем, что он должен быть истинным для аддитивно разделимых функций вида $ f_1 (x_1) + \ ldots + f_n (x_n) $ (потому что аддитивно отделимая форма - это просто менее общий подкласс более общей формы $ f (\ cdot) $).

Но то же самое не верно в обратном порядке. Известный нам результат справедлив для аддитивно разделимых функций $ f_1 (x_1) + \ ldots + f_n (x_n) $ для более общих функций $ f (x_1, \ ldots, x_n) $.