Условие трансверсальности в неоклассической модели роста

В неоклассической модели роста существует следующее условие трансверсальности:

lim_{t \to \infty} β^{t} u^{'} (c_{t}) k_{t + 1} = 0,

$\lim_{t\rightarrow\infty}\beta^{t}u'(c_{t})k_{t+1}= 0,$ где

k_{t + 1}

$k_{t+1}$ - капитал в период

t

$t$ .

Мои вопросы:

Как мы получаем это условие?
Зачем нам это нужно, если мы хотим исключить пути без накопления долга?
Почему множители Лагранжа $\beta^{t}u'(c_{t}) = \beta^{t}\lambda_{t}$ являются текущей дисконтированной стоимостью капитала?

economic-growth dynamic-optimization

— Neta_1990
источник

Проверьте эти ответы на предмет различия между условием оптимальности трансверсальности и экзогенным ограничением платежеспособности , economics.stackexchange.com/a/13681/61 и economics.stackexchange.com/a/11866/61

— Алекос Пападопулос

Я попытался дать нематематическое, понятное описание интуиции, стоящей за условием трансверсальности, в этом посте: medium.com/@alexanderdouglas/… Однако я не макроэкономист, так что я вполне мог бы ошибиться. Если так, я надеюсь, что некоторые ответы скоро появятся.

— Александр Дуглас

Это должен быть комментарий, поскольку вы предоставляете только ссылку на внешний контент. Кроме того, условие трансверсальности не зависит от каких-либо предположений о формировании ожиданий, поскольку это условие навязывается даже в детерминированных моделях, где неопределенность отсутствует. И это не связано конкретно с государственным долгом, а с какими-либо активами в целом. Основным моментом является следующее: если нет побудительных мотивов (нас не волнует наше потомство или общество), то оптимальным является «оставить позади» неиспользованное богатство. Это все, что нужно сделать.

— Алекос Пападопулос

ПРОДОЛЖЕНИЕ Это довольно просто с конечным горизонтом, и, как обычно бывает, когда горизонт становится «бесконечным», он становится немного менее простым и самоочевидным.

— Алекос Пападопулос

Ответы:

Условие трансверсальности может быть легче понять, если мы начнем с задачи с конечным горизонтом.

В стандартной версии, наша цель состоит в том, чтобы предмет к с . Связанный лагранжиан (с множителями , и ) имеет вид .

max_{{c_{t}, k_{t + 1}}_{t = 0}^{T}} \sum_{t = 0}^{T} β^{t} u (c_{t})

$\max_{\{c_t,k_{t+1}\}_{t=0}^T} \sum_{t=0}^T\beta^t u(c_t)$

\begin{aligned} f (k_{t}) - c_{t} - k_{t + 1} & \geq 0, t = 0, \dots, T & (resource/budget constraint) \\ c_{t}, k_{t + 1} & \geq 0, t = 0, \dots, T & (non-negativity constraint) \end{aligned}

$\begin{aligned} f(k_t)-c_t-k_{t+1}&\ge0,\quad t=0,\dots,T &&\text{(resource/budget constraint)}\\ c_t,k_{t+1}&\ge0,\quad t=0,\dots,T &&\text{(non-negativity constraint)} \end{aligned}$

k_{0}

$k_0$

λ_{t}

$\lambda_t$

μ_{t}

$\mu_t$

ω_{t}

$\omega_t$

max_{{c_{t}, k_{t + 1}, λ_{t}, μ_{t}, ω_{t}}_{t = 0}^{T}} \sum_{t = 0}^{T} β^{t} u (c_{t}) + λ_{t} (f (k_{t}) - c_{t} - k_{t + 1}) + μ_{t} c_{t} + ω_{t} k_{t + 1}

$\max_{\{c_t,k_{t+1},\lambda_t,\mu_t,\omega_t\}_{t=0}^T} \sum_{t=0}^T \beta^tu(c_t)+\lambda_t(f(k_t)-c_t-k_{t+1})+\mu_tc_t+\omega_tk_{t+1}$

\begin{aligned} c_{t} : & β^{t} u^{'} (c_{t}) - λ_{t} + μ_{t} & = 0, t = 0, \dots, T \\ k_{t + 1} : & - λ_{t} + λ_{t + 1} f^{'} (k_{t + 1}) + ω_{t} & = 0, t = 0, \dots, T - 1 \\ (1) & k_{T + 1} : & - λ_{T} + ω_{T} & = 0, T + 1 \end{aligned}

$\begin{align} c_t:&& \beta^tu'(c_t)-\lambda_t+\mu_t&=0,\quad t=0,\dots,T \\ k_{t+1}:&& -\lambda_t+\lambda_{t+1}f'(k_{t+1})+\omega_t&=0,\quad t=0,\dots,T-1 \\ k_{T+1}:&& -\lambda_T+\omega_T&=0,\quad T+1 \tag{1} \end{align}$ с дополнительными условиями расслабления Куна-Такера: для , Поскольку ресурсное ограничение должно быть обязательным во всех периодах, т.е. для всех , из этого следует, что в последний период , , .

t = 0, \dots, T

$t=0,\dots,T$

\begin{aligned} λ_{t} (f (k_{t}) - c_{t} - k_{t + 1}) & = 0 & λ_{t} & \geq 0 \\ μ_{t} c_{t} & = 0 & μ_{t} & \geq 0 \\ (2) & ω_{t} k_{t + 1} & = 0 & ω_{t} & \geq 0 \end{aligned}

$\begin{align} \lambda_t(f(k_t)-c_t-k_{t+1})&=0 & \lambda_t&\ge0 \\ \mu_tc_t&=0 & \mu_t&\ge0\\ \omega_tk_{t+1}&=0&\omega_t&\ge0\tag{2} \end{align}$

λ_{t} > 0

$\lambda_t>0$

t

$t$

T

$T$

ω_{T} = λ_{T} > 0

$\omega_T=\lambda_T>0$

k_{T + 1} = 0

$k_{T+1}=0$

Обычно мы принимаем для всех (условие Инады), и это означает, что для всех . Таким образом, FOC потребления становится $c_t>0$ $t$ $\mu_t=0$ $t$

\begin{matrix} (3) & β^{t} u^{'} (c_{t}) = λ_{t} \end{matrix}

$\beta^tu'(c_t)=\lambda_t \tag{3}$

Глядя на условия и в последнем периоде , мы получаем Расширяя это до бесконечного горизонта, мы получаем условие трансверсальности $(1)$ $(2)$ $(3)$ $T$

β^{T} u^{'} (c_{T}) k_{T + 1} = 0

$\beta^Tu'(c_T)k_{T+1}=0$

lim_{T \to \infty} β^{T} u^{'} (c_{T}) k_{T + 1} = 0

$\lim_{T\to\infty}\beta^Tu'(c_T)k_{T+1}=0$

Интуиция условия трансверсальности отчасти заключается в том, что «в последнем периоде нет сбережений». Но поскольку в среде с бесконечным горизонтом не существует «последнего периода», мы берем предел, когда время уходит в бесконечность.

— Герр К.
источник

На мой взгляд, лучший вывод по логике. Подумайте об этом так: если единственное, что мы говорим домашнему хозяйству, - это максимизировать его полезность, то оптимальное поведение будет просто давать бесконечный долг и потреблять бесконечно. Это не разумное решение. Поэтому нам нужно другое условие оптимальности. Это должно ответить на вопрос 2.

В условиях ограниченного горизонта выполнимость будет достигнута путем погашения долга за последний период. Это невозможно в условиях бесконечного горизонта. Однако «исключение накопления долга», как вы предлагаете, является слишком строгим условием (условие трансверсальности допускает задолженность!).

Чтобы ответить на вопрос 3, давайте посмотрим на термин . Это означает (предельную) выгоду от полезности (в текущей стоимости) от сдвига единиц капитала в период t и их потребления. Если бы это увеличение полезности было положительным на бесконечности, мы могли бы увеличить общую полезность, потребляя больше на «бесконечности периода», следовательно, наш путь капитала не был бы оптимальным. $\beta^t \lambda_t k_{t+1}$ $k_{t+1}$

На вопрос 1: Чтобы вывести это условие, вы можете либо привести только что приведенный мной логический аргумент, показывающий, что без выполнения условия трансверсальности путь капитала не является оптимальным, либо, для математического доказательства, вы можете проверить, например, За заметки Крузелла (хотя это довольно трудно понять)

— Крис галстук
источник