Логарифмическое уравнение расхода Эйлера

Я пытаюсь логаризовать уравнение потребления Эйлера в книге Гали. Он говорит:

Лог-линейная аппроксимация (1)$Q_{t}= \beta E_{t}[(\frac{C_{t+1}}{C_{t}})^{-\sigma}(\frac{Z_{t+1}}{Z_{t}})(\frac{P_{t}}{P_{t+1}})]$

Я провел всю ночь, пытаясь выучить логарифмизацию, поэтому мой ответ может быть неправильным, а вот моя попытка:

Я переписываю и таким образом (1) становится:$Q_{t}=\frac{1}{1+i_{t}}$

$1= \beta E_{t}[(1+i_{t})(\frac{C_{t+1}}{C_{t}})^{-\sigma}(\frac{Z_{t+1}}{Z_{t}})(\frac{P_{t}}{P_{t+1}})]$

Принимая журналы обеих сторон (я предполагаю, что могу игнорировать оператор ожидания, хотя я не совсем уверен, почему):

$0=ln(\beta) + ln(1+i_{t})- \sigma[ln(c_{t+1}) - ln(c_{t})] + ln(z_{t+1}) - ln(z_{t}) + ln(P_{t}) - ln(P_{t+1})]$ (2)

Аппроксимация вокруг значений установившегося состояния:

$0=ln(\beta) + ln(1+i^{*})+(\frac{1}{1+i^{*}})(i_{t}-i^{*})- \sigma[ln(c^{*})+(\frac{1}{c^{*}})(c_{t+1}-c^{*}) - ln(c^{*}) - (\frac{1}{c^{*}})(c_{t}-c^{*})] + ln(z^{*}) + (\frac{1}{z^{*}})(z_{t+1}-z^{*}) - ln(z^{*}) - (\frac{1}{z^{*}})(z_{t}-z^{*})+ ln(P^{*}) + (\frac{1}{P^{*}})(P_{t}-P^{*}) - ln(P^{*}) - (\frac{1}{P^{*}})(P_{t+1}-P^{*})$

Это было довольно грязно, но, надеюсь, вы видите, что я делаю, простое приближение первого порядка вокруг устойчивого состояния. Затем я использовал уравнение (2), чтобы отменить некоторые термины. Я остался с:

$(\frac{1}{1+i^{*}})(i_{t}-i^{*})- \sigma(\frac{1}{c^{*}})(c_{t+1}-c^{*}) + \sigma(\frac{1}{c^{*}})(c_{t}-c^{*}) + (\frac{1}{z^{*}})(z_{t+1}-z^{*}) - (\frac{1}{z^{*}})(z_{t}-z^{*}) + (\frac{1}{P^{*}})(P_{t}-P^{*}) - (\frac{1}{P^{*}})(P_{t+1}-P^{*}) = 0$

Переписывание с точки зрения отклонений от стационарного состояния:

$\tilde i_{t} - \sigma \tilde c_{t+1} + \sigma \tilde c_{t} + \tilde z_{t+1} - \tilde z_{t} + \tilde p_{t} - \tilde p_{t+1} = 0$

Я могу перестроить это в терминах и добавить операторы ожидания, но мой ответ не совпадает с ответом Гали. Он говорит:$\tilde c_{t}$

$c_{t} = E[c_{t+1}] + \frac{1}{\sigma}(i_{t} - E_{t}[\pi_{t+1}] - \rho) + \frac{1}{\sigma}(1-\rho _{z})z_{t}$

Прежде всего, я не понимаю, откуда появился поскольку его нет в (1). Кроме того, я делаю ошибку в моем линейном приближении? Разве я не использовал (2), чтобы отменить условия?$\rho$

Я только что выучил логарифмизацию, поэтому мой метод может быть довольно наивным. Я просто «зарегистрировал» обе стороны, использовал приближение Тейлора первого порядка вокруг устойчивого состояния, отменил условия из шага «регистрации» и решил для потребления.

Любая помощь с благодарностью!

Чтобы упростить ситуацию, давайте назовем правую часть вашего исходного уравнения Затем я начну так же, как вы сделали с$X_t$

$1 = X_t$

Разница между вашим решением и Гали в том, что вы взяли расширение Тейлора вокруг

$\log(1)=0=log(X_t)$ что означает, что устойчивое состояние равно 0, поэтому мы можем просто вычесть его, чтобы получить log-разности,

тогда как Гали использовал

$1 = \exp(\log(X_t))$ с установившимся состоянием$1=\exp(\log(X^*))$

Давайте определим .$x_t=\log(X_t)$

По определению разложения Тейлора это дает

$T(1) = \exp(x^*)+\exp(x^*)(x_t-x^*)$

Обратите внимание, что экспоненциальная функция идентична ее производной. Мы знаем, что сверху, поэтому мы можем упростить$\exp(x^*)=1$

$T(1)=1+(x_t-x^*)$

На данный момент, вы правы, что отменить. Вместо определения но Гали решает заменить , что является условием устойчивого состояния, поэтому остается на бумаге.х т = х т - х * ρ = π + сг & gamma - я $\rho$$\hat{x}_t=x_t-x^*$$\rho=\pi +\sigma \gamma-i$$\rho$

Обратите внимание, однако, что «ошибка аппроксимации» от взятия логарифмических разностей вместо подхода Гали крошечная, то есть для она составляет всего- log ( 0,99 ) ≈ $\beta=0.99$$-\log(0.99)\approx 0.01$

Взгляните на приложение 2.1 к книге Гали! Это довольно сложно, но вместе с этим постом, надеюсь, вы его получите!