стохастическое доминирование второго порядка без того же среднего

Пусть $F$ и $G$ два распределения с одинаковым средним. $F$ называется второй порядок стохастический доминирует ( SOSD ) $G$ , если

$$\int u(x)\mathrm dF(x)\ge \int u(x)\mathrm dG(x)\tag{1}$$ для всех возрастают и вогнута $u(\cdot)$ .

Приведенное выше определение эквивалентно

$$\int_{-\infty}^x F(t)\mathrm dt\le \int_{-\infty}^xG(t)\mathrm dt,\qquad\forall x\in\mathbb R.\tag{2}$$

Мне сказали, что требование, чтобы $F$ и $G$ имели одинаковое среднее значение, на самом деле не является необходимым. Пусть $F$ и $G$ делать не имеют одинаковое среднее значение. Можем ли мы тогда иметь эквивалентность между $(1)$ и $(2)$ ?

NB Я смог показать $(2)\Rightarrow (1)$ без того же среднего значения, но не наоборот.

$u(x) = x$

$$\int x\mathrm dF(x)\ge \int x\mathrm dG(x) \implies E_F(X) \geq E_G(X) \tag{1}$$

$E_F(X) < E_G(X)$

$E_F(X) \geq E_G(X)$$F$$G$

$F$$G$