Пусть экономика с 20 потребителями, один частный товар $ x_2 $ и один общественный товар $ x_1 $. Общественное благо производится с использованием частного блага в качестве входных данных по следующей технологии: $ x_1 = g (z) = z ^ {1/2} $, где $ z $ - единицы личного блага. Функция полезности потребителя "i": $$ U (x_1, x_ {2i}) = ln (x_1) + ln (x_ {2i}) $$, совокупная обеспеченность частного товара составляет $ \ sum_ {i = 1 } ^ {20} w_i = 20 $. Моя проблема в разделе б)
а) Получить оптимальное распределение по Парето.
Здесь у меня есть следующий лагранжиан:
$$ Max_ {x_1, X_ {2i}, г} 20ln (x_1) + \ sum_ {= 1} ^ {20} п (X_ {2i}) + \ lambda_1 (40- \ sum_ {= 1} ^ {20} X_ {2i} -z) + \ lambda_2 (г ^ {1/2} -x_1) $$
с СРО:
$$ x_1: 20 / x_1 = \ lambda_2 $$ $$ x_ {2i}: 1 / x_ {2i} = \ lambda_1 $$ $$ z: - \ lambda_1 + \ frac {1} {2} \ lambda_2z ^ {- 1/2} = 0 $$ $$ \ lambda_1: 40 = \ sum_ {i = 1} ^ {20} x_ {2i} + z $$ $$ \ lambda_2: z ^ {1/2} = x_1 $$
Где решение $ x_ {2i} * = 4/3 $, $ x_1 * = \ sqrt {\ frac {40} {3}} $, $ z * = \ frac {40} {3} $ является оптимальным по Парето.
б) Получить равновесное распределение Линдала с помощью $ · p_i = p_j \ hspace {0.3cm} \ forall i \ neq j $. Здесь каждый потребитель максимизирует свою функцию полезности при условии ограничения, которое должно быть с персонализированной ценой; и фирма, которая производит общественные блага, максимизирует выгоды. Итак, проблема потребителя заключается в: $$ Max_ {x_1, X_ {2i}} п (x_1) + п (X_ {2i}) + \ lambda_1 (w_i-X_ {2i} -p_ix_1) $$
СРО:
$$ x_1: 1 / x_1 = \ lambda_1p_i $$ $$ X_ {2i}: 1 / X_ {2i} = \ lambda_1 $$ $$ \ lambda_1: (w_i = X_ {2i} + p_ix_1) $$
Итак, из первого и второго CPO: $ x_ {2i} = x_1p_i $, подставляя в третий $ x_ {2i} = \ frac {w_i} {2} $ Вот моя проблема. Чтобы получить распределение Парето в a) $ x_ {2i} = \ frac {w_i} {2} = \ frac {4} {3} $, поэтому для каждого потребителя должно быть $ w_i = 8/3 $ i $ but $ \ sum_ {i = 1} ^ {20} w_i = 20 \ frac {8} {3} = \ frac {160} {3} \ neq 40 $ Итак, что происходит?