FOC для предпочтений Кинг-Плоссер-Ребело

Я читаю динамический скоринг: А обратно-оф-конверт руководство по Mankiv и Weinzierl ( здесь ) и на странице 1420, я не получаю ВОК в уравнении , которое говорит . Я получаю FOC с с помощью Лагранжа. $(10)$ $r=...$ $v'(n)=...$

Я нашел тот же FOC в документе от Ferede ( Динамическая оценка в модели роста Рамси , здесь ), и он говорит, что это

получается путем объединения условий максимизации полезности первого порядка относительно капитала и потребления (стр. 5).

Но я наблюдаю только по потреблению ВОК и от ФОК в столице. $\lambda=-c^{-\gamma}e^{gt(1-\gamma)}e^{(1-\gamma)v(n)}$ $-\lambda[(1-\tau_k)r-g]=0$

Как я могу получить и там? $\dot{n}$ $\dot{c}$

Что ж, позвольте мне показать вам, что у меня есть: функция Лагранжа определяется как:

L = \frac{1}{1 - γ} [c^{1 - γ} e^{g t (1 - γ} e^{(1 - γ) v (n)} - 1] - λ [(1 - τ_{n}) w n + (1 - τ_{k}) r k - c - g k + T - \dot{k}]

$L=\frac{1}{1-\gamma}[c^{1-\gamma}e^{gt(1-\gamma}e^{(1-\gamma)v(n)}-1]-\lambda [(1-\tau_n)wn + (1-\tau_k)rk - c - gk +T - \dot{k}]$

Таким образом, потребление ВОК определяется как , в то время как FOC относительно капитала равен . $\frac{\partial L}{\partial c}=c^{-\gamma}e^{gt(1-\gamma)} e^{(1-\gamma)v(n)}+\lambda=0$ $-\lambda[(1-\tau_k)r-g]=0$

Таким образом, уравнение для основано на уравнении . И вы полностью дифференцируете это. $\dot{\lambda}$ $\frac{\partial \lambda}{\partial t}=\frac{\partial \lambda}{\partial c} \frac{\partial c}{\partial t}$

Я надеюсь, что кто-то может помочь мне.

NEW: Итак, еще раз: . Таким образом, вы действительно правы в своем уравнении после слов «Затем замените обратно в FOC для потребления», но затем вы заменяете его на FOC вместо k: , поэтому мы получаем , так что знаки больше не подходят, и это, к сожалению, приводит к чему-то другому, чем уравнение . $\lambda=e^{-pt}u'(c)$ $\dot{\lambda}=\lambda[g-(1-\tau)r]$ $\gamma \dot{c}/c - (1-\gamma)(g+v'(n)\dot{n})+p=g-(1-\tau)r$ $(10)$

macroeconomics utility preferences

— Frodo361
источник

Таким образом, вы должны использовать здесь гамильтониан, а не лагранжиан, потому что ваша целевая функция является интегралом во времени.

— VCG

Я все это выписал. Ваша проблема возникла из-за неправильных FOC, и да, вам нужно полностью дифференцировать, потому что это фокус, поэтому переменные выбора являются функциями всех параметров.

— VCG

Итак, давайте использовать гамильтониан приведенной стоимости здесь:

$H=e^{-pt}u(c)+\lambda(\dot k)$

FOC: wct: $0=e^{-pt}u'(c)-\lambda$

wrt k: $-\dot\lambda=\lambda[(1-\tau)r -g]$

Возьмите FOC от потребления и дифференцируйте по времени:

$\dot\lambda =-\gamma c^{-\gamma-1}\dot c e^{-pt+gt(1-\gamma)}e^{(1-\gamma)v(n)}+c^{-\gamma}e^{-pt+ gt(1-\gamma)}e^{(1-\gamma)v(n)}[(1-\gamma)(g+v'(n)\dot n)-p]$

Затем замените обратно в FOC для потребления:

$\dot\lambda =-\gamma c^{-1}\dot c\lambda +\lambda[(1-\gamma)(g+v'(n)\dot n)-p]$

Затем замените этого парня в Foc на столицу:

$g-(1-\tau )r=-\dot c/c\gamma+(1-\gamma)[g+v'(n)\dot n]-p$

ведущий к:

$r(1-\tau)=p+(\dot c/c +g)\gamma+(1-\gamma)[-v'(n)\dot n]$

— ВКГ
источник

Спасибо за ваш ответ, но, к сожалению, я до сих пор не понимаю его полностью. Как я могу получить из уравнения ? И когда вы дифференцируете для , это , не так ли? Не могли бы вы показать мне, как правильно заменить его, если я ошибаюсь.

ρ

$\rho$

(10)

$(10)$

n

$n$

c^{- γ} e^{g t (1 - γ)} e^{(1 - γ) v (n)} (1 - γ) v^{'} (n) \dot{n}

$c^{-\gamma}e^{gt(1-\gamma)}e^{(1-\gamma)v(n)} (1-\gamma)v'(n)\dot{n}$

— Frodo361

Ну, я предположил, что ваш FOC для потребления был правильным. Используете ли вы текущую или текущую стоимость гамильтониана? И я не дифференцирую, я дифференцирую по т. Я забыл г, поэтому я положил его обратно.

— VCG

Похоже, вы сделали PV гамильтониан, и это означает, что вы пропустили термин из фокуса.

e^{p t}

$e^{pt}$

— VCG

Огромное спасибо. Вы действительно помогли мне. Уравнение после вашей строки с «Затем заменить в FOC для потребления» на самом деле так что вы должны поменять знаки, но после этого все, на мой взгляд, правильно. Похоже, что Мэнкью и Вайнцерль допустили ошибку, потому что в их уравнении . Вы наблюдали это с , как и Феред ...

- \dot{λ}

$-\dot{\lambda}$

(10)

$(10)$

[. . . + (1 - γ) v^{'} (n) \dot{n}]

$[...+(1-\gamma)v'(n) \dot{n}]$

-

$-$

— Frodo361

Я разместил что-то новое в своем вопросе сверху. Я думаю, что последние два уравнения из вашего ответа имеют неправильные знаки ...

— Frodo361