Микроэкономика - Теория ожидаемой полезности - Индекс кусочной полезности, эквивалентность определенности и т. Д.

Я решаю старые проблемы из разных квалификаций из разных университетов, чтобы подготовиться к предстоящему тесту. Я сталкивался с этим и хотел спросить, может ли кто-нибудь подтвердить мои ответы?

Мои ответы:

** Я использую $\succeq$ для обозначения «по крайней мере, так же хорошо, как».

(a) Эквивалентность определенности, как правило, представляет собой сумму денег $c(F,u)$ так что:

$F \in \Delta(\mathbb{R})$$\delta_{C(F,u)} \backsim F$ $\equiv u[C(F,u)] = U(F)$

Здесь я никогда не видел ничего подобного, и поэтому я думаю:

• x < M C ( F , $\forall$ $x<M$ , ]$C(F,\sqrt(x))= u^{-1}[\int\sqrt(x)dF$
• x ≥ M u [ C ( F , $\forall$ $x\geq M$ ,$u[C(F,\sqrt(M))]= [\sqrt(M)] \implies C(F,u)=x$

Поскольку не 1-1, а значит, не обратимо, через я в итоге просто решил, что мой результат выше верен? x ≥ $u()$$x\geq M$

• Или это должно быть что-то вроде:

$u[C(F,u)] = F(M)\sqrt(x) + [1-F(M)]*\sqrt(M)$

---

(б) Я знаю, что эквивалент достоверности меньше или равен ожидаемому значению если агент не склонен к риску. $F$

Я думаю, что это то же самое, что сказать ,∀ F ∈ Δ ( R$u[C(F,u)] \leq u(\int x dF)$$\forall F \in \Delta(\mathbb{R})$

---

(c) Агент не склонен к риску, если и только предпочтения агента представлены вогнутым индексом полезности и поэтому этот агент не склонен к риску, поскольку:$u(.)$

• $x < M$ $\implies u(x)=\sqrt(x)$ , который является явно вогнутым.
• x 1 , x 2 ⊂ [ M , ∞ ) α ∈ [ 0 , 1 ] α ∗ x 1 + ( 1 - α ) ∗ x 2 ∈ [ M , ∞ $x\geq M$ let и let Тогда${x_1,x_2} \subset [M,\infty)$$\alpha \in [0,1]$$\alpha*x_1 + (1-\alpha)*x_2 \in [M,\infty)$

Теперь обратите внимание, что , дляi=1,2,$u(x_i)=\sqrt(M)$$i=1,2,3$

и так

$$u(x_3) \geq \alpha u(x_1) + (1-\alpha)u(x_2)$$

$$\to u(\alpha x_1 + (1-\alpha)x_2) \geq \alpha u(x_1) + (1-\alpha)u(x_2)$$

---

(D) Опять же, я не уверен в этом. Все, что я знаю о FOSD, это то, что для двух лотерей F, G, а затем для всех монотонных предпочтений денег ЕС:

$$F \geq_{FOSD} G \iff F \succeq G$$

Любая помощь приветствуется.

Предположим , что случайная величина .$X\sim F$

1. Определенным эквивалентом лотереи является константа которая решает: $X$$c$

   $u(c) = \mathbb{E}(u(X))$

2. Поскольку является вогнутым из-за неравенства Дженсена: $u(x) = \min(\sqrt{x}, \sqrt{M})$

   $u(c) = \mathbb{E}(u(X)) \leq u(\mathbb{E}(X))$

3. Агент не склонен к риску, потому что вогнуты.$u$
4. Если агент предпочитает лотерею в лотерею , не следует , что FOSD . Рассмотрим следующие две лотереи:Y ∼ G F $X\sim F$$Y\sim G$$F$$G$

$X = \frac{M}{2}$ с вероятностью 1.

$Y = M$ с вероятностью и с вероятностью . Y=0$\frac{1}{2}$$Y = 0$$\frac{1}{2}$

Так вогнута, лотереи предпочтительнее лотереи . Это потому, что дает ожидаемое значение лотереи с вероятностью 1. Кроме того, не FOSD потому что .X Y X Y F G F ( $u$$X$$Y$$X$$Y$$F$$G$$F\left(\frac{M}{2}\right) = 1 > \frac{1}{2} = G\left(\frac{M}{2}\right)$