Почему вектор цен ортогонален вектору, соединяющему две связки на бюджетной гиперплоскости

Вот моя пересмотренная версия / понимание того, почему вектор цен ортогонален любому вектору от расслоения на бюджетной гиперплоскости к другому расслоению на гиперплоскости: (оригинальный вопрос см. Ниже)

Хочется геометрически показать, что бюджетная гиперплоскость - это относительные условия обмена. Это причудливый способ сказать, что он представляет собой «соотношение» цен между любыми двумя товарами. Для простоты посмотрим на . У нас есть два варианта отношения: или . Что бы это могло быть? Способ построения вектора цен - это p , поэтому, когда вы рисуете этот вектор из любой точки бюджетной линии, которая имеет отрицательный наклон в случае , вектор по существу является наклоном (например, повышение переполнение) из . Очевидно, что если бюджетная линия с отрицательным наклоном должна представлять соотношение цен, то это должно быть так $L=2$ $\frac{p_1}{p_2}$ $\frac{p_2}{p_1}$ $=(p_1,p_2)$ $L=2$ $\frac{p_2}{p_1}$ $\frac{-p_1}{p_2}$ . На самом деле, это так из определения бюджетного множества Вальраса, где . $w=x\cdot p$

Когда мы смотрим на типичный вальрасианский бюджет, установленный в , почему вектор цен ортогонален вектору потребления (например, любые два на склоне) на гиперплоскости бюджета? Это восходит к главе 2 MWG. Я понимаю аналитическое объяснение, используя точечный продукт. $\mathbb{R^+_2}$

$p\cdot x=p\cdot x'=w$ для . Следовательно, . $x,x'\in\{x\in\mathbb{R^+_2}:p\cdot x=w\}$
$p\cdot\Delta x=0$

Но мне трудно понять две вещи:

(В) Почему эта ортогональность между вектором цены и потребления на гиперплоскости связана с наклоном бюджетной линии, определяющей относительный курс обмена между двумя товарами? Как вы понимаете смысл между интуицией и геометрической интерпретацией?

Спасибо за ваши 2 цента!

microeconomics consumer-theory choice-theory

— Фрэнк Свантон
источник

Обратите внимание, что не ортогонально векторам потребления в строке бюджета, но оно ортогонально любому вектору который удовлетворяет с в строке бюджета. MWG рисуют векторы, начиная с некоторого . $p$ $v$ $x+v=x'$ $x,x'$ $x$

О уклоне: в строке бюджета вы можете видеть, что уклон для любого равен (то есть линия, нарисованная из ). Эта линия или вектор могут быть представлены с помощью функции (обратите внимание, что если , ). Наклон составляет . $x$ $D_x (p.x)=p$ $x$ $x_2=(p_2/p_1)*x_1$ $x_1=p_1$ $x_2=p_2$ $p_2/p_1$

С другой стороны, все векторы в строке бюджета удовлетворяют . Здесь уклон . Этот уклон является обменным курсом. Оба наклона подразумевают, что две функции (вектор и бюджетная линия) являются ортогональными. Или, может быть, лучше сказать, что ортогональность между бюджетной линией и вектором подразумевает, что , то есть последний член фиксирует обменный курс. $x_2=(-p_1/p_2)*x_1+w/p_2$ $(-p_1/p_2)$ $p$ $p$ $dx_2/dx_1=-p_1/p_2$

— Belisario
источник

Альваро, спасибо за ответ. Я следую тому, что вы написали. Но я пытаюсь раскрыть интуицию, лежащую в основе ортогональности и относительных условий обмена, скажем, между двумя продуктами. Я стараюсь изо всех сил понять, к какому абсурду это приведет, если мы скажем, что они не ортогональны, то есть скалярное произведение не равно нулю. Я полагаю, что это может привести к противоречию, что или не находится на гиперплоскости бюджета ... Какова была бы ситуация, когда она НЕ ортогональна?

x^{0}

$x^0$

x^{'}

$x'$

— Фрэнк Свантон,

Если строка бюджета и вектор p не являются ортогональными, то где отличается от . Тогда (относительные цены не являются обменным курсом). В результате бюджетная строка может быть записана как . Следовательно, для любого в исходной строке бюджета мы имеем . не в бюджетной строке.

x_{2} = - α * x_{1} + w / p_{2}

$x_2=-\alpha∗x_1+w/p_2$

α

$\alpha$

p_{1} / p_{2}

$p_1/p_2$

d x_{1} / d x_{2} = - α

$dx_1/dx_2=-\alpha$

α * p_{2} * x_{1} + p_{2} * x_{2} = w

$\alpha∗p_2*x_1+p_2*x_2=w$

x^{'} >> 0

$x'>>0$

α * p_{2} * x_{1}^{'} + p_{2} * x_{2}^{'} = p_{1} * x_{1}^{'} + p_{2} * x_{2}^{'} + (α * p_{2} - p_{1}) * x_{1}^{'} = w + (α * p_{2} - p_{1}) * x_{1}^{'} \neq w

$\alpha∗p_2*x'_1+p_2*x'_2=p_1*x'_1+p_2*x'_2+(\alpha∗p_2-p_1)*x'_1=w+(\alpha∗p_2-p_1)*x'_1\neq w$

x^{'}

$x'$

— Белизарио

Кроме того, я думаю об относительных условиях обмена с кривыми безразличия. С учетом, скажем, определенного уровня полезности, касание в каждой точке этой кривой безразличия представляет предельную скорость замещения между для . Бюджетная гиперплоскость была бы, я полагаю, касательной к некоторой кривой безразличия, учитывая, что у нас есть квазивогнутая функция полезности . Итак, что же представляет, учитывая некоторую цену и богатство, определенный уровень предельного замещения тогда? Опять же, трудно понять, почему это связано с ортогональностью векторов цен :(

x_{1}, x_{2}

$x_1,x_2$

L = 2

$L=2$

u (.)

$u(.)$

— Фрэнк Свантон,

На самом деле, я думаю, что меня смущает жаргон «относительные условия обмена», означающий, что это просто соотношение цен. Так что это должно быть либо чем либо наоборот. Таким образом, в этом смысле я получаю как графически, так и алгебраически, когда , наклон является отношением.

p_{1}

$p_1$

p_{2}

$p_2$

L = 2

$L=2$

— Фрэнк Свантон

Да, (рыночный) обменный курс - это соотношение, при котором люди обмениваются продуктами на рынке. Итак, единица измерения (с ценой

x_{2}

$x_2$

p_{2}

$p_2$

p_{2} / p_{1}

$p_2/p_1$

x_{1}

$x_1$

p_{2}

$p_2$

x_{2}

$x_2$

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

d x_{2} / d x_{1} = - p_{1} / p_{2}

$dx_2/dx_1=-p_1/p_2$