Слабая аксиома выявленных предпочтений

Может быть, это общеизвестный факт, который я как-то упустил из виду или забыл и т. Д., Но я недавно обнаружил, что мне любопытно, есть ли какие-либо выводы относительно удержания WARP в разных измерениях для данной структуры выбора.

Итак, если у меня есть функция полезности, агентов, L товаров и векторов цен в R L + , и я хочу определить, выполняется ли здесь WARP, достаточно ли предположить, что L = 2, и доказать WARP. Имеется в виду, верно ли, что если WARP имеет место для L = 2, это также верно для L = N , N ∈ $N$$L$$R^L_+$$L=2$$L=2$$L=N$$N \in \mathbb{N}$

Изменить : я чувствую, что я должен добавить, что я знаю, в общем, доказательство чего-то для конкретного случая не позволяет обобщить результат. Однако существуют уникальные случаи, когда такие доказательства могут работать. Первый пример, который приходит на ум, состоит в том, что всякий раз, когда функция избыточного спроса является однородной с нулевой степенью, мы можем свести проблему к симплексу, и достаточно показать, что очищаются только n-1 рынки.

Почему я спрашиваю?

Я пытаюсь определить, подходит ли WARP для адаптации (1999) функции полезности неприятия неравенства Фера и Шмидта. Я подумал, что это может быть проще сделать, учитывая $L=2$

Я могу пролить некоторый свет на этот вопрос, но не уверен, что смогу на него ответить, так как не уверен, что он действительно даже четко определен.

$N$

$U: X \to \mathbb{R}$$\mathscr{C}$$X$$\mathscr{C}(A) = \{x \in A \mid U(x) \geq U(y), \ \forall y \in A\}$$\mathscr{C}$$X$

$\mathbb{R}^l$$\mathbb{R}^l$$\mathbb{R}^2$

$2 < k \leq l$

$\mathbb{R}^3$$\mathscr{C}^{x}(A) = A$$A \in \mathbb{R}^2 \times \{x\}$

$i,j \leq l$$i \neq j$$i$$j$$\mathscr{C}^{x}$$\mathbb{R}^2 \times \{x\}$$\mathscr{C}^{y}$$\mathbb{R}^2 \times \{y\}$$\mathscr{C}$

$\mathscr{C}$$\{x,y\}$$x,y \in \mathbb{R}^l$