На Мисс Экспоненциальная против Мисс Гиперболическая виньетка

Я натолкнулся на эту небольшую притчу, чтобы показать, почему экспоненциальное дисконтирование превосходит гиперболическое дисконтирование ¹ :

Больший изгиб [кривой гиперболического дисконта] означает, что, если гиперболический дискаунтер будет торговать с кем-то, кто использует экспоненциальную кривую, она скоро будет освобождена от своих денег. Например, г-жа Экспоненциал могла покупать зимнее пальто г-жи Гиперболик дешево каждую весну, потому что расстояние до следующей зимы снизило бы оценку г-жи Х. больше, чем г-жи Э. Затем г-жа Е. могла продавать миссис Х каждую осень, когда наступившая зима привела к высокой оценке г-жи Х.

Фигура, на которую ссылается выдержка, выглядит примерно так, как показано ниже, наиболее заметным отличием является то, что я добавил легенду, чтобы указать, какая кривая равна ² , вместе с аналитической формой используемых функций фактической скидки ³ .

Но мне кажется, что аргумент, представленный выше, является ложным. Понятно, что чья оценка будет более депрессивной, зависит от времени. Таким образом, точно такой же аргумент с противоположными ролями г-жи Е. и г-жи Х будет работать для любого момента времени между точкой, в которой пересекаются кривые, и вертикальной осью.

Фактически, для некоторых вариантов выбора коэффициентов для гиперболической и экспоненциальной кривых экспоненциальная кривая является более депрессивной, чем гиперболическая кривая для всех временных точек . Например:

Оказывается, что зеленая экспоненциальная кривая выше пересекает гиперболическую кривую только при одном значении , а именно (т.е. в момент времени, обозначенный вертикальной осью). При всех зеленая экспоненциальная кривая строго ниже гиперболической.$t$$t = 0$$t < 0$

Это означает, что, если бы экспоненциальная кривая дисконтирования г-жи Е была зеленой, то г-жа Х могла бы быстро обескуражить ее, применив стратегию, описанную в выдержке, и это было бы верно независимо от продолжительности временного интервала между покупка и продажа зимнего пальто .

Таким образом, аргумент выдержки для превосходства экспоненциального дисконтирования над гиперболическим дисконтированием, на мой взгляд, не выдерживает критики.

Теперь я понимаю, что выдержка не является особенно строгой, и что может быть более убедительный способ продемонстрировать превосходство экспоненциального дисконтирования над гиперболическим дисконтированием. Если так, то, что это? В частности, я хочу знать следующее:

Как может кто-то, кто использует экспоненциальное дисконтирование, в одностороннем порядке получить финансовое преимущество от того, кто использует гиперболическое дисконтирование?

(Под односторонним пониманием я подразумеваю, что стратегия доступна только тому, кто использует экспоненциальное дисконтирование по отношению к сомонеону, который использует гиперболическое дисконтирование, а не наоборот).

^{1 Ссылка на этот отрывок - « Разрушение воли» (2001) Джорджа Эйнсли (стр. 30–31). У меня нет книги, хотя.}

^{2 Я добавил ярлыки «гиперболический» и «экспоненциальный», согласно моей интерпретации того, что автор подразумевает под «большим поклоном». Я не являюсь носителем английского языка, поэтому, пожалуйста, поправьте меня, если эта интерпретация обратная.}

^{3 Обратите внимание, что все эти функции имеют качестве своих доменов. Этот выбор был необходим для соответствия внешнему виду исходных кривых. Также я должен подчеркнуть, что функциональные формы, которые я использовал для всех этих кривых, являются моими собственный, подобранный так, чтобы приблизить внешний вид исходных кривых. Текст выдержки не дает функциональной формы изображенных кривых.$(-\infty, 0]$}

Я считаю, что денежный насос работает так:

В $T=0$ одолжить сотню долларов у Генри гиперболического дискаунтера на полный период $t$, Процентная ставка должна быть нулевой, потому что их учетная ставка по кредитам этого периода$1$, Для простоты, сделайте это ссудой с нулевым купоном, с выплатой в конце срока и предположите, что вы оба согласны, что они не являются кредитным риском. Теперь шаг вперед на один период$T=\epsilon$, Предлагаю продать кредит обратно Генри. Его учетная ставка сейчас$\frac{1}{1-\epsilon} < 1$таким образом, процентная ставка ниже, чем та, которую он будет взимать по новому кредиту, поэтому цена должна быть выше номинала. Назовите цену$100 + \psi_1$, Сделай распродажу, разорви кредит и карман$\psi_1$, Попросите новый кредит на сто долларов, опять же с нулевым купоном, теперь под процентную ставку.$\frac{1}{1-\epsilon}$за период. Шаг вперед еще один период$T = 2 \epsilon$, Снова,$\frac{1}{1-2\epsilon} < \frac{1}{1-\epsilon}$ так что вы можете продать это обязательство слишком дороже ($1 + \psi_2$). Сделай распродажу, разорви кредит и карман$\psi_2$, Ополосните, вспените и повторяйте, пока у них не будет сотни долларов, чтобы одолжить вам.

Обновление: надеюсь, это более простой пример. Что вы делаете, в каждом периоде купить T (T$\geq$2) период связи с Генрихом Гиперболическим дискаунтером. Вы также продаете обратно Генри облигацию, которую вы купили в предыдущий период. Вы будете готовы сделать это, пока период времени достаточно короткий, чтобы прибыль по транзакции была достаточно высокой, чтобы компенсировать вашу собственную ставку дисконтирования.

Рассмотрим 2-летнюю облигацию с указанными выше предпочтениями. 2 года скидка$\frac{1}{3}$ которая меньше, чем ставка дисконтирования на 1 год $\frac{1}{2}$, Эдди, экспоненциальный дискаунтер, готов одолжить деньги Генри, потому что прибыль по этому кредиту достаточно высока, чтобы компенсировать его, даже если его предпочтение по срокам на 1 и 2 года выше, чем у Генри.