CES: производственная функция: эластичность замещения

10

Я должен доказать это $\sigma = 1/(1 + \rho)$ для производственной функции CES:

\begin{aligned} q = (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ}} \end{aligned}

$\begin{align} q = (l^\rho + k^\rho)^\frac{1}{\rho} \end{align}$

Я узнал, что мне нужно решить следующее уравнение:

\begin{aligned} σ = \frac{\frac{d (k / l)}{k / l}}{\frac{d R T S}{R T S}} = \frac{d (k / l)}{d R T S} \frac{R T S}{k / l} = \frac{d (k / l)}{d ((k / l)^{1 - ρ})} \frac{(k / l)^{1 - ρ}}{k / l} \end{aligned}

$\begin{align} \sigma = \frac{\frac{d(k/l)}{k/l}}{\frac{dRTS}{RTS}} = \frac{d(k/l)}{dRTS}\frac{RTS}{k/l} = \frac{d(k/l)}{d((k/l)^{1-\rho})}\frac{(k/l)^{1-\rho}}{k/l} \end{align}$

Но я просто не знаю, как переписать это выражение $\sigma = 1/(1 + \rho)$

production-function

— frankfranfrank
источник

Посмотрите пример для производства Кобба Дугласа и попробуйте решить его для CES. en.wikipedia.org/wiki/Elasticity_of_substitution

— невежественный

9

Производственная функция:

q = (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ}}

$q = (l^\rho + k^\rho)^\frac{1}{\rho}$ MPL и MPK являются соответственно:

q_{l} = \frac{\partial q}{\partial l} = \frac{1}{ρ} \cdot (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ} - 1} \cdot ρ \cdot l^{ρ - 1}

$q_l = \frac{\partial q}{\partial l} = \frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot l^{\rho-1}$

q_{k} = \frac{\partial q}{\partial k} = \frac{1}{ρ} \cdot (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ} - 1} \cdot ρ \cdot k^{ρ - 1}

$q_k = \frac{\partial q}{\partial k} = \frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot k^{\rho-1}$ Какова скорость, которую l может заменить на k?

куда $f$ является дифференцируемой вещественной функцией единственной переменной, мы определяем эластичность f (x) относительно x (в точке x) как

σ (x) = \frac{x f^{'} (x)}{f (x)} \equiv \frac{\frac{d f (x)}{f (x)}}{\frac{d x}{x}}

$\sigma(x) = \frac{x f'(x)}{f(x)}\equiv \frac{\frac{df(x)}{f(x)}}{\frac{dx}{x}}$

Сделайте изменение переменных таким образом, чтобы $u = ln(x)$ ( $\rightarrow x = e^u$ ) а также $v=ln(f(x))$ ( $\rightarrow f(x) = e^v$ )
Обратите внимание, что $v' = f'(x) / f(x)$ а также $u'=\frac{1}{x}$ так что $\frac{v^{'}}{u^{'}} = \frac{\frac{f^{'} (x)}{f (x)}}{\frac{1}{x}} = σ (x)$ $\frac{v'}{u'}=\frac{\frac{f'(x)}{f(x)}}{\frac{1}{x}} = \sigma(x)$
Обратите внимание, что это также результат, который вы получаете, решая для $\frac{d ln f(x)}{d ln(x)}$ потому что $\frac{d ln f(x)}{d ln(x)} = \frac{d v}{d u}$ который мы решаем через правило цепочки: $\frac{d v}{d U} знак равно \frac{d v}{d Икс} \cdot \frac{d Икс}{d U} знак равно \frac{е^{'} (Икс)}{е (Икс)} \cdot Икс$ $\frac{d v}{d u} = \frac{d v}{d x} \cdot \frac{d x}{d u} = \frac{f'(x)}{f(x)} \cdot x$ что происходит именно определение $\sigma(x)$ ,

Теперь давайте займемся вашей проблемой эластичности.

L N (\frac{Q_{К}}{Q_{L}}) знак равно L о г (\frac{\frac{1}{ρ} \cdot (L^{ρ} + К^{ρ})^{\frac{1}{ρ} - 1} \cdot ρ \cdot L^{ρ - 1}}{\frac{1}{ρ} \cdot (L^{ρ} + К^{ρ})^{\frac{1}{ρ} - 1} \cdot ρ \cdot К^{ρ - 1}}) знак равно L N (\frac{L}{К})^{ρ - 1} знак равно (ρ - 1) L N (L / К) знак равно (1 - ρ) L N (К / L)

$ln(\frac{q_k}{q_l})= log(\frac{\frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot l^{\rho-1}}{\frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot k^{\rho-1}}) = ln (\frac{l}{k})^{\rho-1} = (\rho-1) ln (l/k) = (1 - \rho) ln (k/l)$

\Rightarrow L N (К / L) знак равно \frac{1}{1 - ρ} \cdot L N (\frac{Q_{К}}{Q_{L}})

$\Rightarrow ln (k/l) = \frac{1}{1-\rho} \cdot ln(\frac{q_k}{q_l})$

Так $\sigma = \frac{1}{1-\rho}$

— BKay
источник

\frac{1}{ρ}

$\frac{1}{\rho}$ а также

ρ

$\rho$ Можно уменьшить производные MPL и MPK для упрощения изложения.

— Гарей

0

Я хотел бы добавить немного к ответу выше. Я написал комментарий ранее, но я подумал, что было бы полезно конкретизировать спор немного подробнее.

У нас есть фирма, которая использует два фактора производства, труда $l$ и капитал $k$ , для производства продукции. Количество выхода написано $q$ ,

Эластичность функции отдельной переменной измеряет процентную долю зависимой переменной в процентном изменении независимой переменной.

С другой стороны, эластичность замещения между двумя факторами влияет на процентную реакцию отношения их количеств к процентному изменению в относительных предельных продуктах.

Что касается вышесказанного, мы имеем, что упругость определяется как

\begin{aligned} σ \equiv \frac{d пер (К / L)}{d пер (M п L / M п К)} \end{aligned}

$\begin{align} \sigma \equiv \frac{d \ln{\left( k/l \right)}}{d\ln{ \left( MPL/MPK \right)}} \end{align}$

где $MPL$ является предельным продуктом труда и $MPK$ является предельным продуктом капитала.

Причина, по которой я это пишу, заключается в том, что в приведенном выше ответе есть небольшая ошибка. В уравнении сразу после «Теперь давайте займемся вашей проблемой эластичности» $\ln{\frac{q_k}{q_l}}$ сразу же следует выражение для $\ln{\frac{q_l}{q_k}}$ переключение числителя со знаменателем.

Если вы исправите это, вы получите это $\sigma = -\frac{1}{1-\rho}$ что близко, но не совсем правильно. Чтобы получить правильный ответ, вы должны следовать в точности тем же вычислениям, которые даны вышеупомянутым ответом, чтобы получить

пер К / L знак равно \frac{1}{1 - ρ} \cdot пер \frac{Q_{L}}{Q_{К}}

$\ln{k/l} = \frac{1}{1-\rho}\cdot \ln {\frac{q_l}{q_k}}$

чтобы получить это $\sigma = \frac{1}{1-\rho}$ где исправления по причинам, изложенным выше.

— mathsquestions1
источник