LEN-модель эквивалентности

Исходная позиция - модель принципала-агента с неполной информацией (моральный риск) и следующими свойствами:

Агентская утилита: $u(z)=-e^{(-r_az)}$
Основная утилита: $B(z)=-e^{(-r_pz)}$
Уровни усилий $e\in \Bbb R$
Результаты $x\in \Bbb R, x\sim N(\mu(e), \sigma), \mu'(e)>0, \mu''(e)\le0$
Контракт: $w(x)=a+bx$ ,

где $r_A$ а также $r_P$ является мерой Эрроу-Пратта абсолютного неприятия риска для агента и принципала соответственно.

Я ищу оптимальный договор для принципала, который он мог бы предложить агенту, когда усилия агента не видны. Утилита принципала может быть записана следующим образом:

U^{P} (e, a, b) = \int_{- \infty}^{\infty} - e^{(- r_{P} ((1 - b) x - a))} f (x ∣ e) d x

$U^P(e,a,b)=\int_{-\infty}^\infty-e^{(-r_P((1-b)x-a))}f(x\mid e) \, dx$

Я хочу показать, что имеет место следующая эквивалентность, означающая, что максимизация полезности принципала может быть записана как RHS следующей эквивалентности:

max_{e, a, b} \int_{- \infty}^{\infty} - e^{(- r_{P} ((1 - b) x - a))} f (x ∣ e) d x \Leftrightarrow max_{e, a, b} (1 - b) μ (e) - a - \frac{r_{P}}{2} (1 - b)^{2} σ^{2}

$\max_{\rm e,a,b}\int_{-\infty}^\infty-e^{(-r_P((1-b)x-a))}f(x\mid e) \, dx \Leftrightarrow \max_{\rm e,a,b}(1-b)\mu(e)-a-\frac{r_P}2(1-b)^2\sigma^2$

где $f(x|e)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{(-\frac{1}2(\frac{x-\mu(e)}\sigma)^2)}$ является функцией плотности нормальной случайной величины $x\sim N(\mu(e),\sigma)$ с ожидаемым значением $\mu(e)$ и дисперсия $\sigma>0$ ,

Я пытался использовать явную форму $f(x|e)$ в LHS немного манипулируйте им, а затем итерируйте, но не можете получить эквивалентность.

expected-utility asymmetric-information principal-agent

— Fusscreme
источник

Суть в том, что ожидаемая полезность принципала от выплаты $z$ обусловленный определенным уровнем усилий $e$ можно записать как

E [z | e] - \frac{r_{p}}{2} Var (z | e) .

$\text{E}[{z}|e] - \frac{r_p}{2}\text{Var}(z|e).$

Другими словами, поскольку богатство обычно распределяется, экспоненциальная полезность имеет простое представление «среднее отклонение». Для деривации, смотрите здесь .

Я полагаю, что выигрыш директора $z$ равно $x - w(x) = (1 - b)x - a$ , Тогда легко вычислить (условное) среднее значение и дисперсию $z$ :

E [z | e] = (1 - b) E [x | e] - E [a] = (1 - b) μ (e) - a,

$\text{E}[z|e] = (1 - b)\text{E}[x|e] - \text{E}[a] = (1 - b)\mu(e) - a,$

Var [z | e] = (1 - b)^{2} Var (x | e) - Var (a) = (1 - b)^{2} σ^{2} .

$\text{Var}[z|e] = (1 - b)^2 \text{Var}(x|e) - \text{Var}(a)= (1 - b)^2\sigma^2.$

Отсюда следует, что ожидаемая полезность принципала может быть записана как

(1 - b) μ (e) - a - \frac{r_{p}}{2} (1 - b)^{2} σ^{2} .

$(1 - b)\mu(e) - a - \frac{r_p}{2}(1 - b)^2\sigma^2.$