Условие диагональной строгой вогнутости Розена

Рассмотрим игру с игроками, с стратегией пространства , где является ограниченное множество, и игрока функции выигрыша . Условие Розена ( Дж. Б. Розен. Существование и единственность точек равновесия для вогнутых игр с n людьми. Econometrica, 33 (3): 520–534, 1965 ) для уникальности равновесия Нэша в игре n игроков гласит, что уравнение будет уникальным, когда $n$ $S \subset \mathbb{R}$ $S$ $i$ $\pi_i:S^n \rightarrow \mathbb{R}$

функция выплаты вогнут в своей стратегии $\pi_i(\textbf{s}) \; i \in N$
Существует вектор ( такой, что функция по диагонали строго вогнутый $\textbf{z}$ $(\forall i \in N)(z_i \geq 0)\ \wedge (\exists i \in N) (z_i >0)$ $\sigma(\mathbf{s}, \mathbf{z})=\sum_{i=1}^{n}z_i\pi_i({\textbf{s}})$

обозначает множество игроков. $N$

Чтобы определить понятие диагональной строгой вогнутости, сначала введем «псевдоградиент» функции , определенный с помощью: $\sigma$ Тогда функцияназываетсястрого диагонально доминантнойвпри фиксированномесли для каждогоместо следующее:

\begin{aligned} g (s, z) = (\begin{matrix} z_{1} \frac{\partial π_{1} (s)}{\partial s_{1}} \\ z_{2} \frac{\partial π_{2} (s)}{\partial s_{2}} \\ . . . \\ z_{n} \frac{\partial π_{n} (s)}{\partial s_{n}} \end{matrix}) \end{aligned}

$\begin{align} g(\mathbf{s},\mathbf{z}) = \begin{pmatrix} z_1\frac{\partial \pi_1(\mathbf{s})}{\partial s_1} \\ z_2\frac{\partial \pi_2(\mathbf{s})}{\partial s_2} \\ ... \\ z_n\frac{\partial \pi_n(\mathbf{s})}{\partial s_n}% \end{pmatrix} \end{align}$

σ

$\sigma$

s \in S

$\mathbf{s} \in S$

z \geq 0

$\mathbf{z} \geq 0$

s^{0}, s^{1} \in S

$\mathbf{s}^0, \mathbf{s}^1 \in S$

\begin{aligned} (s^{1} - s^{0})^{'} g (s^{0}, z) + (s^{0} - s^{1})^{'} g (s^{1}, z) > 0 \end{aligned}

$\begin{align} (\mathbf{s}^1 - \mathbf{s}^0)'g(\mathbf{s}^{0}, \mathbf{z}) + (\mathbf{s}^0 - \mathbf{s}^1)'g(\mathbf{s}^{1}, \mathbf{z})>0 \end{align}$

$\sigma$ $\left[G(\mathbf{x}, \mathbf{z}) +G(\mathbf{x}, \mathbf{z})' \right]$ $\mathbf{s} \in S$ $G(\mathbf{x}, \mathbf{z})$ $g$ $\mathbf{s}$

game-theory nash-equilibrium

— Nidjsi
источник

$\sigma(s,z)$ $\sigma$ $g(s,z)$

$\sigma$

— muxamilian
источник

Спасибо за Ваш ответ! То, что вы пишете, по сути является одним из результатов оригинальной статьи Розена. Когда я говорю интуиция, я имею в виду, какое свойство стратегического взаимодействия в игре охвачено условием строгой вогнутости? Например, говорит ли это условие что-то о том, как действия других игроков влияют на выигрыш игрока i, или как действия игрока i влияют на выигрыш других игроков в игре. Извините, если я не был достаточно ясен в вопросе.

— Нидзи