Квазилинейная полезность: оптимальность по Парето подразумевает полное увеличение полезности?

Я читал, что если у нас есть квазилинейная полезность для всех потребителей, то любое парето-оптимальное распределение максимизирует сумму уровней полезности всех потребителей. Это:

$\textbf{What we know:}$

$\textbf{What to show:}$

Кто-нибудь может предоставить доказательство этого? Любая помощь будет принята с благодарностью!

$\textbf{Edit:}\,$ я не знаю, правильный ли это путь, но благодаря строгому возрастающему свойству предпочтения удовлетворяют локальному ненасыщению, что означает, что они удовлетворяют первой теореме благосостояния. Теперь, если бы я мог выяснить, все ли оптимальные по Парето распределения являются конкурентными равновесиями с квазилинейной полезностью, я мог бы кое-что понять! $\phi(\,)$

Редактировать: крайние случаи отстой; смотрите комментарии. См. Также MWG, глава 10, раздел C, D.

Предположим, что решает$(\vec x^*, \vec m^*)$

но не является оптимальным по Парето.

что противоречие. Если у нас есть решение задачи максимизации полезности, оно должно быть оптимальным по Парето.

(Обратите внимание, что это происходит из непрерывных и растущих свойств )$\phi(\cdot)$

Предположим, что является выполнимым оптимальным по Парето распределением, но не решает$(\vec x^*, \vec m^*)$

Поскольку мы рассматриваем как числительное, а строго увеличивается, мы знаем, что локально ненасыщен. Распределение по Парето должно быть просто осуществимым.$m_i$$\phi_i(\cdot)$$u_i(\cdot)$

Если это так, потому что это альтернативное распределение просто дает индивиду больше , при прочих равных условиях, то альтернативное распределение невозможно. Так что у нас будет противоречие.$x$

Если это так, потому что в альтернативном распределении кому-то еще выделяется больше а одному другому назначается меньше, то исходное распределение не будет оптимальным по Парето. Предположим, что это было. Если вы взяли исходное распределение и сместили на пути нового распределения, то вам понадобится соответствующая сделка в числовом товаре , чтобы сохранить тот, кто теряет по крайней мере, на том же уровне полезности. Но торговля только числовым товаром никогда не может изменить суммарную полезность . Из исходного распределения, если вы можете обменять на$x$$x$$m$$x$$m$$x$и сделать кого-то лучше, не причинив никому вреда, у вас не было оптимума по Парето, и если вы не можете обменять на чтобы сделать кого-то лучше, вы не можете увеличить суммированную агрегированную полезность, что означает Решение проблемы максимизации.$m$$x$

Эта логика применяется независимо от того, как вы переставляете между несколькими людьми.$x$

$\square$

Я не думаю, что это правда в стандартной чистой обменной экономике, о которой идет речь. Рассмотрим следующий контрпример:

$I = \{1,2\}$ и и .$u_1(x_1, m_1) = \sqrt{x_1} + m_1$$u_2(x_2, m_2) = \sqrt{x_2} + m_2$

и пусть набор возможных распределений будет

$\{((x_1, m_1), (x_2, m_2))\in\mathbb{R}^2_+\times\mathbb{R}^2_+: x_1+x_2 = 2, m_1+m_2 = 2 \}$ .

Обратите внимание, что распределение эффективно по Парето, но не максимизирует сумму коммунальных услуг. Причина в том, что распределение дает более высокую сумму.$a_1 = ((x_1, m_1), (x_2, m_2)) = ((2,2),(0,0))$$a_2 = ((1,1),(1,1))$

$u_1(2,2) + u_2(0,0) = \sqrt{2} + 2 < 2 + 2 = u_1(1,1) + u_2(1,1)$ .

Я полагаю, что вы имеете в виду следующий результат: любое распределение PE максимизирует , но трудно точно знать, так как вы не относитесь конкретно к технико - экономическое обоснование.$\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$

Позвольте мне быть более конкретным. Для каждого , . Выделение: . Набор возможных распределений: . Утилита из имеет вид , где строго увеличивается.$i\in\{1,\ldots,I\}$$(x_{i},m_{i})\in\mathbb{R}_{+}\times\mathbb{R}$$a=(x_{i},m_{i})_{i=1}^{I}$$F=\{(x_{i},m_{i})_{i=1}^{I}|(x_{i},m_{i})\in\mathbb{R}_{+}\times\mathbb{R}\forall i\in\{1,\ldots,I\},\sum_{i=1}^{I}x_{i}\leq c_{x},\sum_{i=1}^{I}m_{i}\leq c_{m}\}$$i\in\{1,\ldots,I\}$$a\in F$$u_{i}(a)=m_{i}+\phi_{i}(x_{i})$$\phi_{i}$

Определение распределения PE является стандартным: является PE, если такой, что для всех и для некоторых .$a\in F$$\nexists a'\in F$$u_{i}(a')\geq u_{i}(a)$$i$$u_{i}(a')>u_{i}(a)$$i$

Теперь я утверждаю, что если является PE, то является решением , или, делая максимизация в отношении явного s, st .$a$$a$$\displaystyle\max_{a\in F}\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$$x_{i}$$\displaystyle\max_{(x_{i})_{i=1}^{I}\in\mathbb{R}_{+}^{I}}\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$$\sum_{i=1}^{I}x_{i}\leq c_{x}$

Я не собираюсь доказывать утверждение здесь, но основная идея проста и заключается в следующем. Предположим, является PE, но не решает проблему максимизации. Тогда мы можем найти другое возможное такое, что . Правда, в , относительно , прибывающие агенты находятся в худшем положении, но мы можем использовать деньги, s, чтобы сделать их такими же хорошими, как и , и при этом остаться с некоторыми деньгами, так как мы увеличили сумму полезности, полученную от s.$a^{*}$$a'$$\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i}')>\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i}^{*})$$a'$$a^{*}$$m_{i}$$a^{*}$$x_{i}$

Другой способ сказать, что сумма полезности из равна . Теперь любое безотходное распределение будет иметь первый член, идентичный.$a\in F$$\sum_{i=1}^{I}m_{i}+\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$$a\in F$

Еще один способ думать об этом состоит в том, что s определяют размер пирога, а деньги, s, определяют перераспределение. По квазилинейности, уменьшение на одну единицу и увеличение на одну единицу оставляет без изменений. Это не верно для и .$x_{i}$$m_{i}$$m_{i}$$m_{j}$$m_{i}+m_{j}$$x_{i}$$x_{j}$

Это также подразумевает, что любой который решает проблему максимизации, является PE.$a\in F$