Условие первого заказа для максимизации прибыли в игорной индустрии

Я работаю над моделью оптимального процента выплат в игровой индустрии.

Поскольку номинальная цена $ билета-всегда $ 1, мы используем эффективную ценовую стратегию , где Q = $ 1 в выигранных призах. Если игра выплачивает 50%, эффективная цена составляет 2 доллара , так как это то, что нужно потратить, чтобы выиграть ожидаемый 1 доллар в призах. Довольно просто, правда?

Ну, я столкнулся с этой сноской в ​​некоторых исследованиях и не могу понять, как они достигли условия первого порядка для максимизации прибыли из первого уравнения:

«Пусть $C(Q)$ представляет операционные расходы как функцию количественных единиц, где одна количественная единица определяется как один доллар в ожидаемой стоимости призов.

Чистая прибыль лотерейного агентства определяется

$$N = PQ - Q - C(Q)$$

где $P$ - цена, взимаемая за единицу измерения.

Условие первого порядка для максимизации прибыли можно записать

$$-E_{PQ} = P(1 - C')/[P(1 -C')- 1]$$

Если предельные операционные расходы составляют процентов от продаж, а коэффициент выплат составляет 50 процентов, мы имеем P = 2 и C ′ = .12 , подразумевая, что эластичность спроса по цене при максимальной прибыли составляет - 2,3 .$6$$50$$P = 2$$C' = .12$$-2.3$

Для увеличения ставки выплаты для увеличения прибыли должно превышать 2,3 по абсолютной величине ».$E_{PQ}$$2.3$

- [Цитата] Клотфелтер, Чарльз Т. и Филипп Дж. Кук. «Об экономике государственных лотерей». Журнал экономических перспектив: 105-19.

В уравнении FOC - эластичность спроса по эффективной цене. Обычно это можно найти, взяв производную P по Q в первом уравнении. $-E_{PQ}$$P$$Q$

Как они оказались там, где сделали? Там должно быть что-то, что я скучаю.

У меня возникают проблемы с пониманием того, как было достигнуто это конкретное Условие Первого Порядка - было ли оно результатом какого-то производного процесса в уравнении чистого дохода, или это просто применяемое внешнее условие.

Благодарность!

Соответствующее выражение содержится в сноске указанной статьи. Читая газету, мы видим , что переменное решение здесь «норма выплаты», которая является обратной P . Таким образом, эквивалентно, мы можем решить задачу максимизации относительно P (а не относительно Q ). Более того, «ценовая эластичность спроса» включает производную Q по P , а не наоборот:$11$$P$$P$$Q$$Q$$P$

$$E_{PQ} = \frac {dQ/dP}{Q}P$$

и мы ожидаем, что он будет отрицательным (более высокая цена означает более низкую ставку выплат, что приводит к меньшему спросу на количественную меру здесь, т.е. к меньшему «спросу на призы»).

$$\max_{P}N = \max_{P}\left[P\cdot Q(P) - Q(P) - C(Q(P))\right]$$

Условие первого порядка

$$\frac{\partial N}{\partial P} = Q + P\cdot Q' - Q' - C'\cdot Q' = 0 \tag{1}$$

Умножьте на :$P/Q$

$$Q\frac PQ + P\cdot Q'\frac PQ - Q'\frac PQ - C'\cdot Q'\frac PQ = 0$$

$$\Rightarrow P +P\cdot E_{PQ} - E_{PQ} - C'\cdot E_{PQ}=0$$

$$\Rightarrow -E_{PQ} = \frac {P}{P-1-C'} \tag{2}$$

Это имеет смысл. Подставляя значения, представленные в ссылке, мы имеем

$$-E_{PQ} = \frac {2}{2-1-.12} = \frac {2}{0.88} \approx 2.27$$

что очень близко к значению, полученному из уравнения, представленного авторами. Я не смог, какими бы алгебраическими манипуляциями я ни пытался, воспроизвести их формулу, но в любом случае eq верен. Если примирение придет, я буду обновлять.$(2)$