Чувствительность / непрерывность оптимального решения

Предположим , что для каждого $y$ , $f(x,y)$ строго выпукла по $x$ . $f(x,y)$ непрерывна по $y$ и пусть $\mathcal X$ компактно (в моей задаче $\mathcal X$ - интервал). Можно ли предложить какие - либо теоремы или ссылки на проблему ли $x^*(y) = \text{argmin}_{x \in \mathcal X} f(x,y)$ непрерывна в $y$ ?

Поскольку никто не ответил, я попробую.

Для начала, вместе с компактностью и, конечно, непустотой , которую вы предположили, вам нужно, чтобы f ( x , y ) была непрерывной по x, чтобы с помощью теоремы Вейерштрасса об экстремальном значении убедиться, что θ ( y ) = argmin х ∈ х F ( х , у ) существует для любого у . Хорошо, как и вы, предполагать строгую выпуклость по x , поскольку это дает нам уникальные решения задач минимизации, и, следовательно, ( 1 ) является синглтоном.$X$$f(x,y)$$x$

$$\theta(y)=\text{argmin}_{x\in X}f(x,y)\tag{1}$$ $y$$x$$(1)$

В этих предположениях я попытаюсь показать, что является непрерывным в следующем смысле, где я, по существу, использую определение непрерывности в терминах пределов последовательностей . Тот факт, что argmin является множеством, усложняет непосредственное применение понятия непрерывности функции, которое редко в элементарном исчислении отображает элементы в некоторый набор множеств.$(1)$

Теорема. Рассмотрим непустое компактное множество и непрерывная функция F : R 2 → R . Кроме того, предположим, что θ ( ˉ y ) = { z | z  минимизирует  f ( x , ˉ y )  над  x ∈ X } - это синглтон { ˉ z } (чтобы убедиться в этом, допустим строгую выпуклость в первом аргументе функции f ). Тогда для последовательностей z $X\subseteq \mathbb{R}$$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$

$$\theta(\bar{y})=\{z|z\text{ minimizes }f(x,\bar{y})\text{ over }x\in X\}$$ $\{\bar{z}\}$$f$ , где { y n } N - последовательность, сходящаяся к ˉ y , мы имеем z n → ˉ z .$z_n\in \theta(y_n)$$\{y_n\}_{\mathbb{N}}$$\bar{y}$$z_n\to \bar{z}$

Доказательство. Я приведу краткое доказательство. Это противоречит и является вариантом доказательства леммы 6.3.2. в нелинейном программировании: теория и алгоритмы, 3-е издание, 2006, Bazaara et al.

Итак, предположим, что , z n ∈ θ ( y n ) и предположим, что | z n - ˉ z | > ϵ > 0 для всех n ∈ I, где I - некоторое индексное множество. Поскольку X компактно и z n ∈ X , последовательность { z n } I имеет сходящуюся подпоследовательность { z n } $z_n\to\bar{z}$$z_n\in \theta(y_n)$$|z_n-\bar{z}|>\epsilon>0$$n\in I$$I$$X$$z_n\in X$$\{z_n\}_I$ С пределомг0вX. По предположению,| z0- ˉ z | ≥ϵ>0и, следовательно,z0≠ ˉ z . Кроме того, для{yn} I ′ верно, что f ( z n , y n ) ≤ f ( ˉ z , y n ), посколькуznминимизируется для$\{z_n\}_{I'}$$z_0$$X$$|z_0-\bar{z}|\geq\epsilon>0$$z_0\neq \bar{z}$$\{y_n\}_{I'}$

$$f(z_n,y_n)\leq f(\bar{z},y_n)\tag{2}$$ $z_n$ , но ˉ z не обязательно минимизируется для y n .$y_n$$\bar{z}$$y_n$

$f$$I'$$(2)$

$$f(z_0,\bar{y})\leq f(\bar{z},\bar{y})\tag{3}.$$ $z_0\neq\bar{z}$$\bar{z}$$f(x,\bar{y})$$z_0$$f(x,\bar{y})$$X$$\theta(\bar{y})$$\theta(\bar{y})$

Справочное предложение. Теорема о максимуме . Эта теорема является более общей и «обеспечивает условия непрерывности оптимизированной функции и набора ее максимизаторов при изменении параметра». Он включает в себя концепцию многозначной функции (обратите внимание, что предположение о том, что argmin является синглтоном, упростило доказательство приведенной выше теоремы).