Модель редкого бедствия Барро (2009) в AER: Как вывести уравнение (10)?

В Barro (2009) Редкие бедствия, цены на активы и затраты на социальное обеспечение Barro разрабатывает модель дерева Лукаса с предпочтениями Эпштейна-Зина.

Мой вопрос касается уравнения работы (10). В этом уравнении Барро утверждает, что при оптимальном решении полезность $U_t$ пропорциональна потреблению $C_t$ умноженному на степень , где γ - коэффициент неприятия относительного риска, т.е.$1-\gamma$$\gamma$

$U_t=\Phi C_t^{1-\gamma}$

Хотя я понимаю логику этого результата, я не понимаю, как он получает постоянную $\Phi$ , которая показана в сноске 7 упомянутой статьи:

Альберто Джованнини и Филипп Вейль (1989, приложение) показывают, что с помощью функции полезности в уравнении (9) достигнутая полезность, $U_t$ , пропорциональна богатству, возведенному в степень $1-\gamma$ . Форма в уравнении (10) следует из-за того, что $C_t$ оптимально выбирается как постоянное отношение к богатству в случае iid. Формула для $\Phi$ имеет вид, если $\gamma \neq 1$ $\theta \neq 1$ ,

$$\Phi = (\frac{1}{1-\gamma})\{\rho+(\theta-1)g^* - (1/2)\gamma(\theta -1)\sigma^2 - (\frac{\theta-1}{\gamma-1})p[E(1-b)^{1-\gamma} - 1 - (\gamma - 1)Eb] \}^{(\gamma-1)/(1-\theta)}$$

Барро цитирует газету NBER 1989 года Джованнини и Вейля. В этой статье я могу вывести постоянную. Тем не менее, он выглядит совершенно иначе, чем версия Барро, потому что я получаю выражение, которое включает в себя , где R t - это доходность капитала. Я считаю, что Барро заменил E [ R 1 - γ t ] на равновесное решение R t . Тем не менее, его выражение не включает в себя журналы или выражения exp.$E[R_t^{1-\gamma}]$$R_t$$E[R_t^{1-\gamma}]$$R_t$

Я был бы благодарен за решение или любые подсказки к решению.

Я думаю, что Барро означает в сноске, что Джованни и Вейль находят одно и то же уравнение, , но используя оптимальный путь C t . В работе Барро подход отличается, учитывая, что динамика C t является экзогенной: C t = Y t по предположению.$U_t=\Phi C^{1-\gamma}$$C_t$$C_t$$C_t=Y_t$

Барро использует предельный случай, когда длина периода приближается к 0. Возможно, что может беспокоить читателя, так это то, что модель определяется как дискретная.

Перепишите модель

Сначала мы можем переписать модель с длиной периода а затем использовать δ → 0 . Динамика ВВП записывается как log ( Y t + δ ) = log ( Y t ) + g δ + u t + δ + v t + δ с u t + δ ∼ N ( 0 , δ σ 2 ) и v t + δ$\delta$$\delta\to 0$

$$\log(Y_{t+\delta})=\log(Y_t)+g\delta+u_{t+\delta}+v_ {t+\delta}$$ $u_{t+\delta}\sim \mathcal{N}(0,\delta\sigma^2)$ с вероятностью 1 - p δ и log ( 1 - b ) с вероятностью p δ . Утилита удовлетворяет U t = $v_{t+\delta}=0$$1-p\delta$$\log(1-b)$$p\delta$ $$U_t=\frac{1}{1-\gamma}\left\lbrace C_t^{1-\theta}+\frac{1}{1+\rho\delta}\left[(1-\gamma)E_tU_{t+\delta}\right]^\frac{1-\theta}{1-\gamma}\right\rbrace^\frac{1-\gamma}{1-\theta}.$$

1) Найти как функцию от E t [ ( C t + $\Phi$$E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]$

Теперь предположим, что существует такое , что U t = Φ C 1 - γ (заметим, что Φ зависит от δ априори). Определить H ( U ) = [ ( 1 - γ ) U ] 1 - $\Phi$$U_t=\Phi C^{1-\gamma}$$\Phi$$\delta$ , утилита удовлетворяет H( U t )= C 1 - θ t +$H(U)=[(1-\gamma)U]^\frac{1-\theta}{1-\gamma}$ ПодставимUt: H(Φ)C 1 - θ t =C 1 - θ t +

$$\begin{align} H(U_t)= C_t^{1-\theta}+\frac{1}{1+\rho\delta}H(E_tU_{t+\delta}). \end{align}$$ $U_t$ Отсюда получаем дляCt≠0, $$\begin{align} H(\Phi)C_t^{1-\theta}= C_t^{1-\theta}+\frac{1}{1+\rho\delta}H(\Phi)\left(E_t\left[C_{t+\delta}^{1-\gamma}\right]\right)^\frac{1-\theta}{1-\gamma}. \end{align}$$ $C_t\neq 0$ $$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}= 1-\frac{1}{1+\rho\delta}\left(E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]\right)^\frac{1-\theta}{1-\gamma}. \end{align}$$

2) Найти из динамики ВВП$E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]$

Хитрость заключается в том, чтобы найти ожидание в правой части от динамики ВВП.

$$\begin{align} \left(\frac{Y_{t+\delta}}{Y_t}\right)^{1-\gamma}= \exp\left((1-\gamma)g\delta\right).\exp\left((1-\gamma)u_{t+\delta}\right).\exp\left((1-\gamma)v_ {t+\delta}\right). \end{align}$$ $u_{t+1}$$v_{t+1}$ $$\begin{align} E_t\left(\frac{Y_{t+\delta}}{Y_t}\right)^{1-\gamma}= \exp\left((1-\gamma)g\delta\right).E_t\exp\left((1-\gamma)u_{t+\delta}\right).E_t\exp\left((1-\gamma)v_ {t+\delta}\right). \end{align}$$ $\exp(X)$$X$$\mathcal{N}(0,\sigma^2)$$\exp(\sigma^2/2)$$\exp\left((1-\gamma)v_ {t+\delta}\right)$$1$$1-p\delta$$(1-b)^{1-\gamma}$$p\delta$ $$\begin{align} E_t\left(\frac{Y_{t+\delta}}{Y_t}\right)^{1-\gamma}= \exp\left((1-\gamma)g\delta\right).\exp\left(\frac{(1-\gamma)^2\sigma^2\delta}{2}\right).\left(1-p\delta+pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta\right). \end{align}$$ $C_t=Y_t$$\Phi$ $$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= 1-\frac{1}{1+\rho\delta}\left\lbrace\exp\left((1-\theta)g\delta\right).\exp\left(\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\right)\right.\\ &\left. .\left(1-p\delta+pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta\right)^\frac{1-\theta}{1-\gamma}\right\rbrace. \end{align}$$

$\delta\to 0$

$$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= 1-(1-\rho\delta). \left(1+(1-\theta)g\delta\right).\left(1+\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\right)\\ & .\left(1-\frac{1-\theta}{1-\gamma}p\delta+\frac{1-\theta}{1-\gamma}pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta\right). \end{align}$$ $\delta^i$$i>1$ $$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= \rho\delta -(1-\theta)g\delta-\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\\ & +\frac{1-\theta}{1-\gamma}p\delta-\frac{1-\theta}{1-\gamma}pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta. \end{align}$$ $g$$g^*=g+\frac{\sigma^2}{2}-pEb$ $$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= \rho\delta -(1-\theta)g^*\delta+(1-\theta)\frac{\sigma^2}{2}\delta -(1-\theta)pEb\delta -\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\\ & +\frac{1-\theta}{1-\gamma}p\delta-\frac{1-\theta}{1-\gamma}pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta. \end{align}$$ $\delta=1$$H$