Как интегрировать кусочную функцию и что такое точка с запятой в нотации функции?

Я пытаюсь получить cdf из pdf, который, согласно этому открытому обучающему видео MIT , так же прост, как получить интеграл от - до . Как это: $\infty$ $\infty$

F_{z} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{z} (z) d z = 1

$F_z(z) = \int_{-\infty}^\infty f_z(z)dz\, = 1$

И это работает для таких функций: $f_x(X)$

Но как насчет такой функции, как ? $f(X;\beta)$

Да, это проблема с домашним заданием, поэтому я не жду точного ответа, но, надеюсь, некоторые общие принципы. Мне трудно гуглить, чтобы узнать, как это сделать, потому что я не знаю, как вызвать функцию такого типа , и я не знаю, как ввести в google. $f(X;\beta)$ $\beta$

PDF у меня есть:

f (X; β) = {\begin{cases} \frac{e^{- X / β}}{β}, & X \geq 0 \\ 0, & otherwise \end{cases}

$f(X;\beta)= \begin{cases} \frac {e^{-X/\beta}}{\beta}, & \ X\geq0 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$

f (X; θ) = 1 - e^{- X / β}

$f(X;\theta)=1-e^{-X/\beta}$

$f(X;\beta)$ $f(X;\theta)$

econometrics

X

$X$

β

$\beta$

θ

$\theta$

X

$X$

X

$X$

может быть, вы можете принять более строгие объяснения по MathematicaSE по этому вопросу, поскольку в вашем вопросе нет экономического контекста.

— оптимальное управление

1

$1$

(- \infty, \infty)

$(-\infty,\infty)$

Как мне перенести это в MathematicaSE? @optimalcontrol. Это звучит как хорошая идея.

@ColeTrumbo Извините, я должен был написать Математика, а не MathematicaSE. Я только что пометил ваш вопрос для перевода в MatmaticsSE.

— оптимальное управление

$f(X|\beta)$

F_{X} (x; β) = P (X \leq x; β = θ) = \int_{- \infty}^{x} f_{X} (x; β) d x

$F_X(x;\beta) = P(X \leq x; \beta=\theta) = \int_{-\infty}^{x} f_X(x;\beta) dx$

$x=u$ $\beta=\theta$

P (X \leq u; θ) = \int_{- \infty}^{u} f_{X} (u; θ) d u

$P(X \leq u; \theta)=\int_{-\infty}^u f_X(u;\theta) du$

= \int_{- \infty}^{0} f (u; θ) d u + \int_{0}^{x} f (u; θ) d u

$= \int_{- \infty}^0 f(u;\theta) du + \int_0^x f(u; \theta) du$

= 0 + \int_{0}^{x} \frac{e^{- u / θ}}{θ} d u

$= 0 + \int_0^x \frac{e^{-u/\theta}}{\theta} du$

= 1 - e^{- x / θ}

$= 1 - e^{-x/\theta}$

$X$ $\beta=\theta$

F_{X} (X; θ) = 1 - e^{- X / β}

$F_X(X;\theta) = 1 - e^{-X/\beta}$

— Sunhwa
источник

$-\infty$ $x$

$F\left(x\right) = \int_{-\infty}^{x} f\left(u\right) du$

$f\left(x;\beta\right)$ $\beta$ $\beta$

$F\left(x;\beta\right) = \int_{-\infty}^{x} f\left(u;\beta\right)du$

— Джон
источник