Моральная опасность с нейтральным фактором риска

У нас есть модель принципала-агента со скрытыми действиями, в которой принципал не склонен к риску, а агент нейтрален к риску; Предположим также, что есть два уровня вывода: $x$ и $x'$ (с $x'>x$ ) и два действия $a,a'$ . Определим $p(a),p(a')$ вероятности $x'$ при действиях $a,a'$ соответственно. Также агент оторванности от действия $a'$ составляет $-1$ , Заработная плата, связанная с $x,x'$ , $w,w'$ соответственно.

Моя проблема в том, что я не уверен, как показать, что для оптимального контракта требуется $x'-w' =x-w$ , т.е. что агент, будучи нейтральным к риску, принимает на себя всю изменчивость, связанную с проектом.

Я формализовать задачу (предположим , что главный хочет , чтобы побудить $a'$ , в противном случае мой вопрос тривиален)

$\max\limits_{\{w,w'\}} u(x'-w')p(a') + u(x-w)(1-p(a'))$

улица

$w'p(a') + w(1-p(a')) - 1 \geq 0$

$w'p(a') + w(1-p(a')) - 1 \geq w'p(a) + w(1-p(a))$

В частности, когда я пытаюсь решить проблему путем максимизации ожидаемой основной выплаты с учетом ограничений «стандартной» индивидуальной рациональности (с множителем $\lambda$ ) и стимулирующей совместимости (с множителем $\mu$ ) (я предполагаю, что принципал заинтересован в более дорогостоящее действие $a'$ ) В итоге я получаю два уравнения, которые не согласуются с вышеупомянутым результатом. В частности:

$u'(x-w) = \lambda + \mu [1- \frac{(1-p(a))}{(1-p(a'))}]$

$u'(x'-w') = \lambda + \mu [1- \frac{p(a)}{p(a')}]$

Очевидно, что имеет место тогда и только тогда, когда что не так в этой задаче (здесь мы имеем ). Другой возможностью было бы предположить, что ограничение совместимости стимулирования слабое (следовательно, ); однако я не могу понять, почему это должно иметь место, когда директор хочет вызвать самое дорогое действие (помощь здесь) $x-w = x'-w'$ $p(a) =p(a')$ $p(a') >p(a)$ $\mu = 0$ $a'$

Я читал в Интернете, что другой подход состоит в том, чтобы предположить, что принципал «продает» проект агенту, и после выбора того, какой уровень усилий максимизирует его ожидаемую полезность, выплачивает фиксированную сумму принципалу (назовите его ) $\beta_{a}, \beta_{a'}$

Таким образом, у нас было бы что-то вроде:

$w'p(a') + w(1-p(a')) - 1 -\beta_{a'} \geq 0$ если агент решил предпринять большие усилия, и противном случае. $w'p(a) + w(1-p(a)) -\beta_a \geq 0$

Но тогда как идти оттуда? Как обеспечить, чтобы агент выбрал действие « ? Как определяются фиксированные суммы? Почему они оптимальны? $a'$

decision-theory principal-agent

— night_owl89
источник

Подсказка: учитывая ваши настройки, не обязательно является эффективным действием, и поэтому принципал не обязательно хочет его вызывать. Вы хотите, чтобы люди предполагали, что это так?

a^{'}

$a^\prime$

— Шейн

@Shane Об этом говорится в вопросе: «Предположим , главный хочет , чтобы вызвать »

a^{'}

$a'$

— Giskard

@denesp Это правда, но это все еще важно знать , является ли или нет на самом деле эффективно, потому что, учитывая риск-нейтральный агент, продающий проект агента не будет оптимальным независимо от того, что, но будет вызывать только если это эффективно. Если неэффективно, но принципал хочет вызвать его независимо, тогда все понятие оптимальных контрактов размыто - мы бы находили оптимальный контракт из набора контрактов, который вызывает субоптимальный выбор.

a^{'}

$a^\prime$

a^{'}

$a^\prime$

a^{'}

$a^\prime$

— Шейн

Принципал может просто произвести платеж, чтобы вызвать '' суммы, основанной на той полезности, которую принципал получает от этого действия.

— DJ Sims

Может ли «заработная плата» быть отрицательной или нулевой?

— Алекос Пападопулос

Ответы:

Этот ответ показывает три вещи:

Нам не нужен лагранжев подход для решения вашей задачи максимизации.
Нам не нужно предположение, что либо. $x'-x=\frac{1}{p(a')-p(a)}$
Условие не обязательно выполняется для оптимального контракта. $x'-w'=x-w$

Исправьте действительно оплату . Задача может быть записана учетом ограничений $w$

max_{w^{'}} u (x^{'} - w^{'}) p (a^{'})

$\begin{equation*} \max_{w'}{u(x'-w')p(a')} \end{equation*}$

Ясно, что принципал заинтересован в том, чтобы установить наименьшее возможное значение для

учитывая этот набор ограничения, так как целевая функция уменьшается в. Поэтому он установит

\begin{aligned} w^{'} p (a^{'}) \geq 1 - w [1 - p (a^{'})] \\ w^{'} [p (a^{'}) - p (a)] \geq 1 + w [p (a^{'}) - p (a)] \end{aligned}

$\begin{align*} & w'p(a') \geq 1 - w[1-p(a')] \\ & w'[p(a')-p(a)] \geq 1+w[p(a')-p(a)] \end{align*}$

w^{'}

$w'$

w^{'}

$w'$

{вес}^{'} знак равно Максимум {\frac{1 - вес [1 - п (a^{'})]}{п (a^{'})}, \frac{1 + вес [п (a^{'}) - п (a)]}{п (a^{'}) - п (a)}}

$\begin{equation} w' = \max\{\frac{1-w[1-p(a')]}{p(a')},\frac{1+w[p(a')-p(a)]}{p(a')-p(a)}\} \end{equation}$

Как и @Alecos_Papadopoulos, имеет смысл предположить, что агент защищен ограниченной ответственностью, то есть его платежи неотрицательны. В противном случае проблема не обязательно имеет решение: принципал всегда может выиграть от уменьшения и увеличения чтобы удовлетворить индивидуальное ограничение рациональности. Но контракт , очевидно, не является удовлетворительным решением. Поэтому я ограничиваю внимание случаем, когда и . $w$ $w'$ $(w=-\infty,w'=+\infty)$ $w \geq 0$ $w' \geq 0$

Из условия следует $w \geq 0$ и, следовательно,

\frac{1 + w [p (a^{'}) - p (a)]}{p (a^{'}) - p (a)} \geq \frac{1 - w [1 - p (a^{'})]}{p (a^{'})}

$\begin{equation*} \dfrac{1+w[p(a')-p(a)]}{p(a')-p(a)} \geq \dfrac{1-w[1-p(a')]}{p(a')} \end{equation*}$

w^{'} = \frac{1 + w [p (a^{'}) - p (a)]}{p (a^{'}) - p (a)}

$\begin{equation*} w' = \dfrac{1+w[p(a')-p(a)]}{p(a')-p(a)} \end{equation*}$

Подставляя это уравнение в целевую функцию, задача главного становится

Эта целевая функция убывает по. Поэтому он просто устанавливаети

\underset{вес \geq 0}{Максимум} U ({Икс}^{'} - \frac{1}{п (a^{'}) - п (a)} - вес) п (a^{'}) + U (Икс - вес) (1 - п (a^{'}))

$\begin{equation*} \max_{w \geq 0}{u(x'-\frac{1}{p(a')-p(a)}-w)p(a')+u(x-w)(1-p(a'))} \end{equation*}$

w

$w$

w = 0

$w=0$

. В заключение, равенство

не имеет причин для удовлетворения, если только не предполагается, что

w^{'} = \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)}

$w'=\dfrac{1}{p(a')-p(a)}$

x^{'} - w^{'} = x - w

$x'-w'=x-w$

, т. е.

Последнее равенство означаетчто социальный излишекрезультате

равно сальдорезультате

x^{'} - x = \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)}

$x'-x=\dfrac{1}{p(a')-p(a)}$

п (a^{'}) {Икс}^{'} + (1 - п (a^{'})) Икс - 1 знак равно п (a) {Икс}^{'} + (1 - п (a)) Икс

$\begin{equation*} p(a') x' + (1-p(a'))x -1= p(a)x' + (1-p(a))x \end{equation*}$

a^{'}

$a'$

a

$a$ Это очень частный случай, когда стоимость усилий для агента точно компенсируется увеличением ожидаемой выработки основной суммы. Во всех остальных случаях мы имеем

x^{'} - w^{'} \neq x - w

$x'-w' \ne x-w$

Я думаю, что причина, по которой агент не берет на себя весь риск, заключается в том, что его действия не наблюдаемы и, следовательно, не стягиваются. Это свойство будет справедливо для экономики с разделением рисков и неограниченным распределением средств. Но распределение здесь искажено необходимостью стимулировать агента приложить большие усилия.

— Олив
источник

x^{'}

$x'$

x^{'} \geq 1 / (p^{'} - p)

$x' \geq 1/(p'-p)$

w

$w$

w^{'}

$w'$

w

$w$

w^{'} = \frac{1 - w (1 - p (a^{'}))}{p (a^{'})}

$w' = \frac{1-w(1-p(a'))}{p(a')}$

U ({Икс}^{'} - \frac{1}{п (a^{'})} + вес \frac{1 - п (a^{'})}{п (a^{'})}) п (a^{'}) + U (Икс - вес) (1 - п (a^{'}))

$\begin{equation*} u(x'-\frac{1}{p(a')}+w \frac{1-p(a')}{p(a')})p(a') + u(x-w)(1-p(a')) \end{equation*}$

w

$w$

w

$w$

w

$w$

w^{'} = \frac{1 - w (1 - p (a^{'}))}{p (a^{'})}

$w'=\frac{1-w(1-p(a'))}{p(a')}$

x^{'} \geq \frac{1}{p^{'} - p}

$x' \geq \frac{1}{p'-p}$

x^{'} < 1 / (p^{'} - p)

$x' < 1/(p'-p)$

x^{'}

$x'$

x

$x$

w = 0

$w=0$

0 < x^{'} - 1 / (p^{'} - p) < x

$0< x' - 1/(p'-p) < x$

a^{'}

$a'$

x^{'}

$x'$ происходит. Это потребовало бы более комплексного лечения, чтобы определить, что действительно оптимально здесь. Конечно, мы можем принять проблему как есть, со всеми ее допущениями, принятыми как ad hoc, но я предпочитаю проблемы, которые противоречат интуиции, только если, в конце, они могут объяснить, почему.

— Алекос Пападопулос

Здесь меня беспокоит следующее: ограничение совместимости стимулирования

я С : {вес}^{'} п (a^{'}) + вес (1 - п (a^{'})) - 1 \geq {вес}^{'} п (a) + вес (1 - п (a))

$IC: w'p(a') + w(1-p(a')) - 1 \geq w'p(a) + w(1-p(a))$

\begin{matrix} (1) & ⟹ {вес}^{'} - вес \geq \frac{1}{п (a^{'}) - п (a)} \end{matrix}

$\implies w'-w \geq \frac {1}{p(a')-p(a)} \tag{1}$

$p(a')-p(a) >0$

\begin{matrix} (2) & {Икс}^{'} - {вес}^{'} знак равно Икс - вес ⟹ {Икс}^{'} - Икс знак равно {вес}^{'} - вес \end{matrix}

$x'-w' = x-w \implies x'-x = w'-w \tag{2}$

$(1)$ $(2)$

\begin{matrix} (3) & {Икс}^{'} - Икс \geq \frac{1}{п (a^{'}) - п (a)} \end{matrix}

$x'-x \geq \frac {1}{p(a')-p(a)} \tag{3}$

Но это дополнительное необходимое ограничение на априорные величины, которое должно выполняться, если постулируемое оптимальное решение должно быть допустимым. Даже если в действительности предполагается такое ограничение, в любом случае оно заметно уменьшает общность проблемы (которая имеет целью показать что-то общее, то есть то, как нейтральный по отношению к агенту агент влияет на решение).

$w, w'$

Λ знак равно U ({Икс}^{'} - {вес}^{'}) п^{'} + U (Икс - вес) (1 - п^{'}) + λ \cdot [{вес}^{'} п^{'} + вес (1 - п^{'}) - 1] + μ \cdot [{вес}^{'} п^{'} + вес (1 - п^{'}) - 1 - {вес}^{'} п - вес (1 - п)] + ξ вес + ξ^{'} {вес}^{'}

$\Lambda = u(x'-w')p' + u(x-w)(1-p') + \lambda\cdot [w'p' + w(1-p') - 1 ]\\ + \mu \cdot [ w'p' + w(1-p') - 1 - w'p - w(1-p)] + \xi w + \xi' w'$

Основные условия первого порядка

\frac{\partial Λ}{\partial вес} \leq 0, \frac{\partial Λ}{\partial вес} \cdot вес знак равно 0

$\frac {\partial \Lambda}{\partial w} \leq 0, \;\;\frac {\partial \Lambda}{\partial w} \cdot w = 0$

$w'$

\frac{\partial Λ}{\partial вес} знак равно - U^{'} (Икс - вес) (1 - п^{'}) + λ (1 - п^{'}) - μ (п^{'} - п) + ξ \leq 0

$\frac {\partial \Lambda}{\partial w} = -u'(x-w)(1-p') +\lambda (1-p') - \mu (p'-p) + \xi \leq 0$

⟹ U^{'} (Икс - вес) (1 - п^{'}) \geq λ (1 - п^{'}) - μ (п^{'} - п) + ξ

$\implies u'(x-w)(1-p') \geq \lambda (1-p') - \mu (p'-p) + \xi$

\begin{matrix} (4) & ⟹ U^{'} (Икс - вес) \geq λ - μ \frac{п^{'} - п}{1 - п^{'}} + \frac{ξ}{1 - п^{'}} \end{matrix}

$\implies u'(x-w) \geq \lambda - \mu \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi}{1-p'} \tag{4}$

\frac{\partial Λ}{\partial {вес}^{'}} знак равно - U^{'} ({Икс}^{'} - {вес}^{'}) п^{'} + λ п^{'} + μ (п^{'} - п) + ξ^{'} \leq 0

$\frac {\partial \Lambda}{\partial w'} = -u'(x'-w')p' +\lambda p' + \mu (p'-p) + \xi' \leq 0$

\begin{matrix} (5) & ⟹ U^{'} ({Икс}^{'} - {вес}^{'}) \geq λ + μ \frac{п^{'} - п}{1 - п^{'}} + \frac{ξ^{'}}{п^{'}} \end{matrix}

$\implies u'(x'-w') \geq \lambda + \mu\frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi'}{p'} \tag{5}$

$IR$ $\lambda >0$ $IC$

λ_{*} знак равно 0

$\lambda_* = 0$

и условия первого порядка теперь становятся

\begin{matrix} (4а) & U^{'} (Икс - вес) \geq - μ \frac{п^{'} - п}{1 - п^{'}} + \frac{ξ}{1 - п^{'}} \end{matrix}

$u'(x-w) \geq - \mu \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi}{1-p'} \tag {4a}$

\begin{matrix} (5а) & U^{'} ({Икс}^{'} - {вес}^{'}) \geq μ \frac{п^{'} - п}{1 - п^{'}} + \frac{ξ^{'}}{п^{'}} \end{matrix}

$u'(x'-w') \geq \mu \frac{p'-p}{1-p'} + \frac {\xi'}{p'} \tag{5a}$

$\xi =0$ $w >0$ $(4a)$

ξ_{*} > 0, {вес}_{*} знак равно 0, ξ_{*}^{'} знак равно 0, {вес}_{*}^{'} > 0

$\xi_* > 0 , w_*=0,\;\;\; \xi'_* = 0,\; w'_* >0$

и условия теперь становятся

\begin{matrix} (4b) & U^{'} (Икс) \geq - μ \frac{п^{'} - п}{1 - п^{'}} + \frac{ξ_{*}}{1 - п^{'}} \end{matrix}

$u'(x) \geq - \mu \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi_*}{1-p'} \tag {4b}$

\begin{matrix} (5b) & U^{'} ({Икс}^{'} - {вес}^{'}) знак равно μ \frac{п^{'} - п}{1 - п^{'}} \end{matrix}

$u'(x'-w') = \mu \frac{p'-p}{1-p'} \tag{5b}$

$(5b)$ $\mu_*>0$ $IC$ $w_*=0$

\begin{matrix} (6) & я С : {вес}^{'} п^{'} - 1 - {вес}^{'} п знак равно 0 ⟹ знак равно {вес}_{*}^{'} знак равно \frac{1}{п^{'} - п} \end{matrix}

$IC: w'p' - 1 - w'p =0 \implies = w'_* = \frac 1{p'-p} \tag{6}$

$(6)$ $(1)$ $(3)$

$x'-x = \frac 1{p'-p}$ $x'-w'_* = x-w_*$

При этом дополнительном предположении мы также получаем

\begin{matrix} (4c) & U^{'} (Икс) \geq - μ_{*} \frac{п^{'} - п}{1 - п^{'}} + \frac{ξ_{*}}{1 - п^{'}} \end{matrix}

$u'(x) \geq - \mu_* \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi_*}{1-p'} \tag {4c}$

\begin{matrix} (5c) & U^{'} (Икс) знак равно μ_{*} \frac{п^{'} - п}{1 - п^{'}} \end{matrix}

$u'(x) = \mu_* \frac{p'-p}{1-p'} \tag{5c}$

Объединяя, мы получаем

μ \frac{п^{'} - п}{1 - п^{'}} \geq - μ \frac{п^{'} - п}{1 - п^{'}} + \frac{ξ_{*}}{1 - п^{'}}

$\mu \frac{p'-p}{1-p'} \geq - \mu \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi_*}{1-p'}$

\begin{matrix} (7) & ⟹ μ_{*} \geq \frac{ξ_{*}}{2 (п^{'} - п)} \end{matrix}

$\implies \mu_* \geq \frac {\xi_*}{2(p'-p)} \tag{7}$

$x'-x = \frac 1{p'-p}$

{w_{*}^{'} = x^{'} - x = 1 / (p^{'} - p), w_{*} = 0, λ_{*} = 0, μ_{*} \geq \frac{ξ_{*}}{2 (p^{'} - p)}, ξ_{*} > 0, ξ_{*}^{'} = 0}

$\left \{w'_* = x'-x = 1/(p'-p), w_* =0, \lambda_*=0, \mu_* \geq \frac {\xi_*}{2(p'-p)}, \xi_* >0, \xi'_* =0\right\}$

— Алекос Пападопулос
источник