Модель Солоу: устойчивое состояние против сбалансированного пути роста

11

Итак, у меня есть реальные проблемы, различающие концепцию устойчивого состояния и сбалансированный путь роста в этой модели:

Y знак равно К^{β} (A L)^{1 - β}

$Y = K^\beta (AL)^{1-\beta}$

Меня попросили вывести постоянные значения капитала на одного эффективного работника:

К^{*} знак равно {(\frac{s}{N + г + δ})}^{\frac{1}{1 - β}}

$k^*=\left(\frac{s}{n+g+ \delta }\right)^{\frac{1}{1-\beta }}$

А также устойчивое отношение капитала к выпуску (K / Y):

\frac{К^{S S}}{Y^{S S}} знак равно \frac{s}{N + г + δ}

$\frac{K^{SS}}{Y^{SS}} = \frac{s}{n+g+\delta }$

Я нашел оба этих штрафа, но меня также попросили найти «устойчивое значение предельного продукта капитала, dY / dK». Вот что я сделал:

Y знак равно К^{β} (A L)^{1 - β}

$Y = K^\beta (AL)^{1-\beta}$

M п К знак равно \frac{d Y}{d К} знак равно β К^{β - 1} (A L)^{1 - β}

$MPK = \frac{dY}{dK} = \beta K^{\beta -1}(AL)^{1-\beta }$

Подстановка для K в установившемся режиме (рассчитывается при разработке установившегося режима для отношения K / Y, приведенного выше):

К^{S S} знак равно A L {(\frac{s}{N + г + δ})}^{\frac{1}{1 - β}}

$K^{SS} = AL\left(\frac{s}{n+g+\delta }\right)^{\frac{1}{1-\beta }}$

M P K^{S S} = β (A L)^{1 - β} {[A L {(\frac{s}{n + g + δ})}^{\frac{1}{1 - β}}]}^{β - 1}

$MPK^{SS} = \beta (AL)^{1-\beta }\left[AL\left(\frac{s}{n+g+\delta }\right)^{\frac{1}{1-\beta }}\right]^{\beta -1}$

M P K^{S S} = β {(\frac{s}{n + g + δ})}^{\frac{β - 1}{1 - β}}

$MPK^{SS} = \beta \left(\frac{s}{n+g+\delta }\right)^{\frac{\beta -1}{1-\beta }}$

Во-первых, мне нужно знать, является ли этот расчет для установившегося значения МПК правильным?

Во-вторых, меня попросили наметить временные траектории соотношения выпуска капитала и предельного продукта капитала для экономики, которая приближается к своей сбалансированной траектории роста «снизу».

У меня проблемы с пониманием того, что такое сбалансированный путь роста, в отличие от устойчивого состояния, и как использовать мои расчеты, чтобы выяснить, как должны выглядеть эти графики.

Извините за сообщение мамонта, любая помощь с благодарностью! Заранее спасибо.

— Джеймс Бейкер
источник

14

Это когда попытка точности создает путаницу и недоразумение.

В прошлом модели роста не учитывали технологический прогресс и привели к долгосрочному равновесию, характеризующемуся постоянными величинами на душу населения. В устной форме термин «устойчивое состояние» представляется подходящим для описания такой ситуации.

Затем появились модели Ромер и эндогенного роста, которые также подтолкнули старшие модели к включению в качестве обычной функции экзогенных факторов роста (помимо населения). И "внезапно", условия на душу населения не были постоянными в долгосрочном равновесии, но росли с постоянной скоростью . Первоначально литература описывала такую ситуацию как «устойчивое состояние в темпах роста».

Тогда появляется профессия думала что - то вроде «это неверно использовать слово„стабильное“здесь , потому что на душу величина растет. Что происходит, что все величины растут на сбалансированную скорость (т.е. с той же скоростью, и поэтому их отношения остаются постоянный). И так как они растут, они следуют по пути ... "Эврика !: родился термин" сбалансированный путь роста ".

... К разочарованию студентов (по крайней мере), которые теперь должны помнить, что, например, «путь седла» действительно является путем на диаграмме фаз, но «путь сбалансированного роста» - это только точка! (потому что для того, чтобы на самом деле нарисовать фазовую диаграмму и получить хорошее старое долгосрочное равновесие, мы выражаем величины на одного эффективного работника, и у этих величин есть традиционное устойчивое состояние. Но мы продолжаем называть это «сбалансированным путем роста» потому что величины в расчете на душу населения, которые нас интересуют в нашем индивидуалистическом подходе), продолжают расти).

Таким образом, «сбалансированный путь роста» = «устойчивое состояние величин на единицу эффективности труда», и я думаю, вы можете выяснить остальное для вашей фазовой диаграммы.

— Алекос Пападопулос
источник

4

После разговора с пользователем @denesp в комментариях к моему предыдущему ответу я должен уточнить следующее: обычное графическое устройство, которое мы используем, связанное с базовой моделью роста Солоу (см., Например, здесь , рисунок 2), не является фазовой диаграммой, поскольку разумно называть «фазовыми диаграммами» те, которые содержат локусы с нулевым изменением, идентифицируем их точки пересечения как неподвижные точки динамической системы и исследуем их свойства устойчивости. И это не то, что мы делаем для модели Солоу. Так что это было неосторожное использование терминологии с моей стороны.

$(y,k)$ $y=f(k)$

\dot{К} знак равно s Y - (N + δ + г) К

$\dot k = sy - (n+\delta+g)k$

\dot{Y} знак равно е_{К}^{'} (К) \cdot \dot{К}

$\dot y = f'_k(k)\cdot \dot k$

\dot{К} \geq 0 ⟹ Y \geq \frac{N + δ + г}{s} К

$\dot k \geq 0 \implies y \geq \frac {n+\delta+g}{s} k$

\dot{Y} \geq 0 ⟹ \dot{К} \geq 0

$\dot y \geq 0 \implies \dot k \geq 0$

$(y,k)$

$y$ $k$ $y$ $k$

— Алекос Пападопулос
источник