Границы компромисса для подсчета диапазона полупространства

10

Какова текущая наилучшая граница для выполнения запросов подсчета диапазона полупространства для набора мерных точек, выраженного в форме компромисса времени / пространства. Согласно основополагающей работе Матусека 1993 года (теорема 6.2, Поиск диапазона с эффективными иерархическими вырезами), мы можем выполнять подсчет диапазона для запросов, которые являются пересечением полупространств, для , используя структуру данных размера , для , в время. Для это время . Тем не менее, исследование Agarwal по поиску дальности (Таблица 36.3.2) утверждает, что граница $d$ $p$ $1 \le p \le d+1$ $O(m)$ $n \le m \le n^d$ $O\left(\frac{n}{m^{1/d}}\log^{p-(d-p+1)/d} \left(\frac{m}{n}\right)\right)$ $p=1$ $O(n/m^{1/d})$ $O\left(\frac{n}{m^{1/d}}\log(\frac{m}{n})\right)$ . Какое правильное утверждение связано? Или что я недопонимаю? Наконец, есть ли скрытый лог-термин, когда ? $m=n^d$

reference-request ds.data-structures cg.comp-geom

— ПКН
источник

6

Более строгие сроки Матушека верны.

В доказательстве теоремы 6.1 ( в журнальной версии ) используется трюк с косвенным обращением, который уменьшает ограничение пространства, необходимое для логарифмического времени запроса, с до . Интуитивно понятно, что задача состоит в том, чтобы сгруппировать точки в подмножества полилогарифмического размера, построить структуру данных линейного пространства для каждого подмножества, а затем построить стандартную логарифмическую структуру времени запроса по подмножествам. Включение улучшенного пространства, связанного с многоуровневым / компромиссным механизмом Матушека, который описан в общем виде в более длинной версии опроса Агарвала, дает Матушеку форму пространственно-временного компромисса. (На самом деле, трюк косвенного действия - это просто очень осторожное применение стандартного компромиссного механизма.) $O(n^d)$ $O(n^d/\operatorname{polylog} n)$

— Jeffε
источник

Просто чтобы быть точным: теорема 6.2 в статье Матоусека утверждает, что подсчет полупространства может быть сделан в пространстве, времени. При , это времени ... нет неустановленного фактора аддитивной журнала? Я спрашиваю только потому, что в обзоре теорема 7 и следствие 8 имеют добавку , которой нет в формулировке теоремы Матусека.

O (m)

$O(m)$

O (n / m^{1 / d})

$O(n/m^{1/d})$

m = n^{d}

$m = n^d$

O (1)

$O(1)$

O (l o g (m / n))

$O(log (m/n))$

— ркн

Ах я вижу. Да, есть ошибка; верхняя граница в формулировке теоремы слишком свободна. Для доказательства требуется ; в противном случае целочисленный параметр будет меньше . Добавление логарифмического термина ко времени запроса также устраняет проблему.

m \leq n^{d}

$m \le n^d$

m = O (n^{d} / \log^{d - p + 1} n)

$m = O(n^d / \log^{d-p+1} n)$

r

$r$

1

$1$

— Джеффс

2

Существует краткое обсуждение результатов поиска в полупространстве чуть выше таблицы 36.3.2 в Обзоре Агарвала и другого в разделе 4.3 этого опроса . Первый, похоже, не дает много подробностей, кроме того, что «компромисс между пространством и запросом для поиска в симплексном диапазоне может быть достигнут путем объединения линейных и логарифмических структур данных времени запроса», но последний, по-видимому, дает немало подробнее о компромиссе между пространством и запросом. Я предлагаю рассмотреть раздел 4.3, теорему 7, следствие 8 и их доказательства. Я не прочитал их достаточно подробно, чтобы знать, отвечает ли он полностью на ваш вопрос, но это, по крайней мере, хорошее место для начала.

— Джо
источник