Найти наименьшее попарное расстояние между точками в o (n log n)?

Следующие упражнения были розданы студентам, которых я курирую:

Учитывая точек на плоскости, разработайте алгоритм, который находит пару точек, расстояние которых минимально среди всех пар точек. Алгоритм должен работать за время o ( n 2 ) .$n$$o(n^2)$

Существует (относительно) простой алгоритм «разделяй и властвуй», который решает задачу за время .$\Theta(n \log n)$

Вопрос 1 : Существует ли алгоритм, который решает данную проблему точно в наихудший момент времени ?$\mathcal{o}(n \log n)$

То, что заставило меня заподозрить, что это может быть возможным, - это результат, который я помню в каком-то разговоре (ссылка приветствуется). В нем говорилось о том, что не более чем постоянное число точек может быть расположено в плоскости вокруг некоторой точки p внутри окружности радиуса r ∈ R , где r минимальное расстояние между любыми двумя из участвующих точек , Я думаю, что с = 7 , точки, образующие равносторонний шестиугольник с р в центре (в крайнем случае).$c \in \mathbb{N}$$p$$r \in \mathbb{R}$$r$$c=7$$p$

В этом случае следующий алгоритм должен решить их проблему за шагов.$n$

fun mindist [] | p::[] = INFINITY
|   mindist p1::p1::[] = dist(P[0], P[1])
|   mindist p::r = let m = mindist(r) in
                     min(m, nextNeighbour(p, r, m))
                   end

Обратите внимание, что это (утверждается, что) в линейном времени, потому что только постоянное количество точек rможет быть не дальше, чем mот p(при условии выше утверждение); только эти точки должны быть исследованы для нахождения нового минимума. Конечно, есть подвох; Как вы реализуете nextNeighbour(возможно, с предварительной обработкой в ​​линейное время)?

$R$$p \notin R$$m \in \mathbb{R}$

$\qquad m \leq \min\{\mathrm{dist}(p_1, p_2) \mid p_1, p_2 \in R\}$

и

$\qquad R_{p,m} := \{p' \mid p' \in R \wedge \mathrm{dist}(p, p') \leq m\}$ .

Предположим, что конечно. Можно ли найти с минимальным расстоянием от за (амортизированное) время ? (Вы можете предположить, что строится, добавляя исследуемые точки одну за другой.)$R_{p,m}$$p' \in R_{p,m}$$p$$\mathcal{O}(1)$$R$$p$

Невозможно решить проблему менее чем за времени в стандартных моделях, например, с использованием алгебраических деревьев решений. Это следует из работ Яо и Бен-Ора, которые показывают, что в этой модели невозможно определить, являются ли все наборы из входных чисел различными или нет (см. Http://people.bath.ac.uk/masnnv /Teaching/AAlg11_8.pdf ). В случае вашей проблемы, представьте, что все они находятся на реальной линии. Если две точки совпадают, то ваши выходные данные будут двумя точками с нулевым расстоянием, а в противном случае - нет, поэтому решение вашей проблемы также решит проблему РАЗЛИЧНЫХ ЧИСЕЛ. Если вы хотите предположить, что все ваши очки разные, то просто добавьте в$cn\log n$$n$$i\epsilon$$x_i$входные данные задачи DISTINCT NUMBERS, в этом случае, если ваш вывод не больше , то числа не все различны. (Хотя в этом случае вы должны использовать версию обещания, в которой разница между любыми двумя различными числами составляет не менее , но я думаю, что это же доказательство работает, чтобы показать, что вам также нужен в этом дело.)$n\epsilon$$2n\epsilon$$\Omega(n\log n)$

Рабин использует рандомизированный линейный алгоритм ожидаемого времени; например, Рабин переворачивает монету в блоге Липтона.

Насколько я понимаю вопрос 2, алгоритм Рабина также дает своего рода ответ на этот вопрос. На каждом временном шаге структура данных представляет собой сетку с шириной ячейки, меньшей наименьшего расстояния между парами точек, видимых до сих пор, деленного на (так, чтобы ни одна ячейка не содержала более одной точки). Чтобы ответить на вопрос в вопросе 2, вам нужно только сопоставить с ячейкой в ​​сетке и посмотреть на постоянное количество ячеек вокруг нее. Согласно анализу алгоритма, если входной набор точек проверяется в случайном порядке, то амортизированное время обновления для сетки составляет на новую ожидаемую точку. рO(1$\sqrt{2}$$p$$O(1)$