Определитель обобщенной матрицы Вандермонда

Матрица Мура похожа на матрицу Вандермонда, но имеет слегка измененное определение. http://en.wikipedia.org/wiki/Moore_matrix

Какова сложность вычисления определителя заданной $n \times n$ матрицы Мура полного ранга по модулю некоторого целого числа?

Можно ли уменьшить определитель Мура с $O(n^{3})$ с использованием методов БПФ до $O(n\log^{a}n)$ для некоторого $a \in \mathbb{R}_{+} \cup \{0\}$ ?

Является ли сложность Moore det по модулю целым числом, а Vandermonde - то же самое? Сложность определителя Вандермонда равна $O(n\log^{2}n)$ (Страница 644 в Справочнике по теоретической информатике: алгоритмы и сложность Яна Леувена)

Пост похож на текущий: определитель по модулю м

cc.complexity-theory algebraic-complexity

— Т ....
источник

Может ли определитель Мура даже быть вычислен за O (n ^ 3) времени (в целочисленной ОЗУ)?

— Джефф

@ Jɛ и далее Е Именно поэтому я говорил по модулю случайных

N \in N

$N \in \mathbb{N}$ .

— T ....

Кстати, и мне просто любопытно, есть ли известные приложения, которые выиграли бы от такого «сверхбыстрого» алгоритма?

— Хуан Бермехо Вега

ФКП, вы случайно не знаете , если вычисления двойной модульного возведения в степень над

в БПП для тривиального

?. Потому что это проблема для вычисления коэффициентов матрицы.

ε

$\varepsilon$

N

$N$

N

$N$

— Хуан Бермехо Вега

Ответы:

В общем, существует теоретический алгоритм времени для нахождения LU-разложения произвольной матрицы с использованием алгоритма Копперсмита-Винограда , который затем, очевидно, дает определитель (добавляя время ). Однако существует проблема, заключающаяся в том, что алгоритм Копперсмита – Винограда на практике не считается пригодным для использования. На самом деле, люди в основном используют алгоритм Штрассена времени . Разве Boost UBLAS не использует lu_factorize ? $O(n^{2.376})$ $O(n)$ $O(n^{2.807})$

В вашем случае матрица Мура должна допускать значительную оптимизацию, потому что в принципе любая процедура, подобная гауссовскому исключению, такая как разложение LU, может быть сделана абстрактно. В самом деле, вы найдете хорошую формулу для вычисления детерминанта Мура, на который ссылается википедия , что, по-видимому, доказывается простой разработкой декомпозиции LU в целом. $O(n)$

— Джефф Берджес
источник

Привет, Джефф: Какую ссылку ты ссылаешься на формулу O (n ^ 2)? Я думаю, что Vandermonde det можно рассчитать в O (nlogn), но я не могу найти ссылку. Так должен ли Мур быть также в O (nlogn)?

— T ....

Да, я должен был сказать O (n), очевидно, действительно O (n log n) для больших n.

— Джефф Берджес

Привет, Джефф: У тебя есть ссылка?

— T ....

@JeffBurdges: Если время выполнения O (n log n) «для больших n», то по определению время выполнения O (n log n), а не O (n).

— Джеффс

Я не вижу формулу

ссылается Википедия. В лучшем случае это выглядит

O (n)

$O(n)$

Θ (n^{2})

$\Theta(n^2)$

— Питер Тейлор

Важно, чтобы в приведенном вами определении матрица находилась в конечном поле, скажем, где простое число. Это позволяет использовать теорему Эйлера для вычисления двойных экспонент $\mathbb{Z}_m$ $m$ которые появляются в матрице за время $a^{q^e}\mod m$ . $O(\log (mn) \; M(\log m))$ В противном случае кажется сложным даже вычислить матричные коэффициенты без факторизации .

a^{q^{i}} \equiv a^{q^{i} (\mod φ (m))} (\mod m)

$a^{q^i}\equiv a^{q^i\pmod{\varphi(m)}}\pmod m$

m

$m$

Если простое или может быть эффективно разложено, в наихудшей сложности преобладает количество шагов, необходимых для умножения матрицы . Например, подход нормальной формы Смита, о котором я упоминал в сообщении партнера , вычислит определитель за время $m$ $O(n^\omega)$ если вы используете «медленные» алгоритмы умножения . можно выбрать равным 2,337. $O\left( n^\omega \; \log^2m\; \log (mn) \right)$ $^*$ $\omega$

Вы получаете замедление в Муре против Вандермонде, так как вы должны дважды возвести в степень коэффициенты матрицы. Когда вы можете учесть это замедление просто полилогарифмическое на . Если нет, то представленный алгоритм дает снижение Кука до двойного модульного экспонирования на . $m$ $m$ $\mathbb{Z}_m$

Примечание *: более быстрые алгоритмы умножения целых чисел позволяют заменить на . $\log^2 m$ $M(\log m \log\log m)$

Обновление : о возможности достижения . $O(n\log^a n)$

У меня нет однозначного ответа на этот вопрос, но я нашел некоторую информацию, которая может усилить ваш поиск.

Алгоритмы для структурированных матриц, которые вычисляют такие величины, как определители во времени , в литературе называются «сверхбыстрыми». Все известные «сверхбыстрые» алгоритмы для структурированных матриц (Vandermonde, Toeplitz, Hankel), похоже, полагаются на общее свойство этих матриц, известное как низкий «ранг смещения». Примите участие в обсуждении в первой главе этой книги (страницы открытого доступа) или в этой статье [ACM] , [PDF] . $O(n\log^a n)$

Из того, что я прочитал, учитывая матрицу Мура , если вы смогли найти матрицы , такие, что новая матрица (или, альтернативно, ) имеет следующую структуру $m\times n$ $M$ $A$ $B$ $L(M)=AM-MB$ $L(M)=M- AMB$

L (M) = \sum_{k = 1}^{r} g_{k} h_{k}^{T}

$L(M) = \sum_{k=1}^r g_k h_k^T$

и ранг мал (либо постоянен, либо ограничен $r>0$ ), тогда вы можете применить существующие методы (см. главу 5 книги, страницы открытого доступа), чтобы треугольнизировать и, следовательно, вычислить , используя . Выше , обозначают векторы. Если вы не можете найти книгу выше, чтобы прочитать все это, вэтой статьетакже много информации об этих методах. $o(\text{min} \;\{m,n\})$ $M$ $\det{M}$ $O(n\log^2 n)$ $g_k$ $h_k$

К сожалению, я не смог найти структуру с низким рангом смещения для матрицы Мура (Вандермонд имеет). Основное осложнение здесь, по-видимому, связано с «нелинейной» природой двойной экспоненты. Если это поможет, в книге разрабатываются дела для Вандермонде, Коши, Теплица, Ханкеля.

— Хуан Бермехо Вега
источник

3

$3$

m

$m$

3^{k}

$3^{k}$

k

$k$

3^{k}

$3^k$

Хорошо, что это не упрощает сложность, я бы сказал, так как поле очень очень большое.

— T ....

φ (3^{k}) = 3^{k} - 3^{k - 1}

$\varphi(3^k)=3^k-3^{k-1}$

a^{q^{i}} \mod m

$a^{q^i}\mod m$

b = q^{i} \mod φ (3^{k})

$b=q^i\mod \varphi(3^k)$

a^{b} \mod 3^{k}

$a^b\mod 3^k$

O (\log (n 3^{k}) M (k \log 3))

$O(\log(n3^k)M(k \log3))$

M (n) = n^{2}

$M(n)=n^2$

O (n^{ω} k^{2} l o g^{2} 3 (\log n + k \log 3))

$O(n^\omega k^2 log^2 3 (\log n + k\log 3))$

ω

$\omega$

1 + ϵ

$1 + \epsilon$

ω \geq 2

$\omega \ge 2$