Выпуклое тело с минимальной ожидаемой нормой l2

Рассмотрим выпуклое тело $K$ центром в начале координат и симметричное (т. Е. Если $x\in K$ то $-x\in K$ ). Я хочу найти другое выпуклое тело $L$ такое, что $K\subseteq L$ и следующая мера минимизируется:

$f(L)=\mathbb{E}(\sqrt{x^T \cdot x})$ , где $x$ - точка, произвольно выбранная из L.

Я в порядке с постоянным коэффициентом приближения к мере.

Некоторые примечания - Первое интуитивное предположение, что сам $K$ является ответом, неверно. Например, рассмотрим $K$ как тонкий цилиндр с очень большими размерами. Тогда мы можем получить $L$ такой, что $f(L)<f(K)$ , позволяя $L$ иметь больший объем, близкий к началу координат.

cg.comp-geom approximation convex-geometry

— Ашвинкумар Б.В.
источник

Ничего не стоит, проблема выглядит сложной. Даже в 3d не очевидно, как это решить.

— Сариэль Хар-Пелед

Очевидно ли, как это сделать в 2d оптимально? Конечно, в 2d приближение постоянного множителя неинтересно.

— Ашвинкумар Б.В.

Это не очевидно для меня. Аппроксимация постоянным множителем очевидна в любом измерении путем аппроксимации формы эллипсоидом www.math.sc.edu/~howard/Notes/john.pdf. Константа будет зависеть от размера.

— Сариэль Хар-Пелед

Меня больше интересует приближение постоянного фактора, где постоянная не зависит от размерности.

— Ашвинкумар Б.В.

Естественно. Но позвольте мне взять его обратно - даже случай с эллипсоидом не очевиден. Если вы хотите атаковать эту проблему, это будет первая версия для изучения. Интуитивно вы должны решить, какие измерения игнорировать, а какие расширять. Кажется, естественным решением является выпуклая оболочка объединения эллипсоида с другим эллипсоидом, где оси нового эллипсоида либо равны одному параметру r, либо равны другому эллипсоиду.

— Сариэль Хар-Пелед

Ответы:

Если мы ограничим и обоими эллипсоидами, то ваша проблема может быть решена с любой точностью с помощью SDP. Я знаю, что это не то, что вы просили изначально, но, похоже, у нас нет решения даже для этого ограниченного случая, и, возможно, это может помочь в целом. $K$ $L$

$E$ $J$ $F$ $E = FB_2$ $G$ $J = GB_2$ $B_2$ $\mathbb{E}_{x \sim J}[\|x\|_2^2] = \frac{1}{n}\mathsf{Tr}(G^TG)$ $E \subseteq J \Leftrightarrow J^\circ \subseteq E^\circ$ $E^\circ$ $E$ $E^\circ = \{x: x^TF^TFx \leq 1\}$ и . Отсюда следует, что (и, следовательно, ) тогда и только тогда, когда является положительной полуопределенной матрицей. $J^\circ = \{x: x^TG^TGx \leq 1\}$ $J^\circ \subseteq E^\circ$ $E \subseteq J$ $G^TG - F^TF$

Таким образом, SDP определяется следующим образом: при заданной симметричной матрице PSD найти симметричную матрицу PSD st равно PSD, а минимизируется. может быть найден путем решения SDP и затем СВДА дадут ось и ось длину . $M$ $N$ $N - M$ $\mathsf{Tr}(N)$ $N$ $J$

— Сашо Николов
источник

(Как уже упоминалось в комментариях, следующий подход не работает. Полученный объект не является выпуклым. Хотя он характеризует «звездообразный» объект с минимальным ожидаемым расстоянием.)

Я думаю, что оптимальным объектом был бы союз и некоторый шар с центром в начале координат. Вот мои мысли. По вашему определению , где - расстояние от начала координат до поверхности вдоль определенного направления. Я использовал вместо =, потому что я отбросил некоторые константы. Теперь мы хотим минимизировать при ограничениях, которые $K$ $f(L)$

f (L) \sim \int_{S^{d - 1}} \int_{0}^{r_{L}} x \frac{d (x^{d} / x_{L}^{d})}{d x} \frac{r_{L}}{v o l (L)} d x d S \sim \int_{S^{d - 1}} \frac{r_{L}^{2}}{v o l (L)} d S \sim \frac{\int_{S^{d - 1}} r_{L}^{2} d S}{\int_{S^{d - 1}} r_{L} d S} \overset{d e f}{=} g (L),

$f(L) \sim \int_{{\mathbb S}^{d-1}} \int_{0}^{r_L} x\frac{\mathrm{d}(x^d/x_L^d)}{\mathrm dx}\frac{r_L}{\mathrm{vol}(L)} \mathrm dx\mathrm dS \sim \int_{{\mathbb S}^{d-1}} \frac{r_L^2}{\mathrm{vol}(L)}dS \sim \frac{\int_{{\mathbb S}^{d-1}} r_L^2 dS}{\int_{{\mathbb S}^{d-1}} r_L dS} \stackrel{\mathrm{def}}{=} g(L),$

r_{L}

$r_L$

L

$L$

\sim

$\sim$

g (L)

$g(L)$

r_{L} \geq r_{K}

$r_L \ge r_K$ вдоль любого направления. Обратите внимание, что если вдоль некоторого направления меньше, чем , то мы можем сделать его немного больше, скажем, увеличить его на , чтобы уменьшить . Это потому, что мы увеличиваем перечислитель на , меньше, чем коэффициент увеличения знаменателя. Следовательно, мы можем думать о постепенном «деформировании» (путем многократного увеличения объекта и обновления ), чтобы уменьшить значение . Пусть - выпуклый объект в конце. Тогда любая точка на

r_{K}

$r_K$

g (K) / 2

$g(K)/2$

ϵ \leq g (K) / 2 - r_{K}

$\epsilon \le g(K)/2 -r_K$

g (K)

$g(K)$

(r_{L} + ϵ)^{2} - r_{L}^{2} = ϵ (2 r_{L} + ϵ)

$(r_L+\epsilon)^2 -r_L^2 = \epsilon(2r_L + \epsilon)$

g (K)

$g(K)$

K

$K$

g (\cdot)

$g(\cdot)$

g (\cdot)

$g(\cdot)$

K^{*}

$K^*$

\partial K^{*} ∖ \partial K

$\partial K^*\setminus \partial K$ находится на расстоянии от начала координат, т. е. является объединением и шара с радиусом .

g (K^{*}) / 2

$g(K^*)/2$

K^{*}

$K^*$

K

$K$

g (K^{*}) / 2

$g(K^*)/2$

Действительно, рассмотрим другой выпуклый объект такой, что . Тогда , так как в противном случае мы можем увеличить часть внутри чтобы уменьшить . С другой стороны, , потому что в противном случае, по той же идее, мы можем уменьшить часть вне чтобы уменьшить . Так что есть уникальное оптимальное решение. $K'$ $g(K') = g(K)$ $K^*\subseteq K'$ $K'$ $K^*$ $g(K')$ $K'\subseteq K^*$ $K'\setminus K$ $K^*$ $g(K')$

— user7852
источник

Может быть, я что-то упускаю, но почему объект, сгенерированный таким образом, выпуклый?

— mjqxxxx

@mjqxxxx Вы правы. Как я это пропустил ...

— user7852

Как насчет следующей идеи: хорошо известно, что выпуклый объект может быть аппроксимирован некоторым эллипсоидом, то есть существует такой эллипсоид , что . Тогда аппроксимирует с приблизительным отношением . Для любого содержащего , . Поэтому, если мы сможем найти оптимальный эллипсоид содержащий , то . Я не знаю , как вычислить . Но я бы предположил, что его оси совпадают с осями и всеми собственными значениями

E_{K}

$E_K$

E_{K} \subseteq K \subseteq \sqrt{d} E_{K}

$E_K\subseteq K\subseteq \sqrt{d}E_K$

f (\sqrt{d} E_{K})

$f(\sqrt{d} E_K)$

f (K)

$f(K)$

d

$d$

L

$L$

K

$K$

\sqrt{d} E_{K} \subseteq d E_{L}

$\sqrt{d}E_K \subseteq d E_L$

E

$E$

\sqrt{d} E_{K}

$\sqrt{d} E_K$

f (E) \leq d^{2} f (L)

$f(E) \le d^2 f(L)$

E

$E$

\sqrt{d} E_{K}

$\sqrt{d} E_K$

\sqrt{d} E_{K}

$\sqrt{d} E_K$ ниже некоторого порога повышаются до этого порога.

— user7852

Я согласен, что если L не ограничено выпуклым телом, это объединение K и шара.

— Ashwinkumar BV

Идея использования эллипсоида не даст вам постоянного фактора. В лучшем случае он может дать приближение. Моя гипотеза состоит в том, что выпуклая оболочка с шаром соответствующего радиуса является приближением с постоянным множителем. Я не уверен, как доказать или опровергнуть гипотезу.

\sqrt{d}

$\sqrt{d}$

L

$L$

— Ashwinkumar BV

Следующее решение основано на этом предположении / предположении [будет доказано]:

Гипотеза : ожидание выпуклой функции на меньше, чем больше между ожиданием на и ожиданием на . $\textrm{conv}(K\bigcup K')$ $K$ $K'$

[Нам понадобится вышеупомянутое только для выпуклых, но это может быть верно в общем случае] $K,K'$

Теперь возьмем любое множество и примените к нему вращение с центром в начале координат, получив . Вы будете иметь , потому что вращение оставляет длину элементов инвариантной. Если я прав насчет гипотезы, . Так как для любого оптимального вы можете рассмотреть , где указывает объединение по всем поворотам, и иметь , может показаться, что оптимальный можно выбрать как наименьшую сферу, содержащую $K$ $R$ $R(K)$ $f(K)=f(R(K))$ $K$ $f(\textrm{conv}(K\bigcup R(K)))\leq f(K)$ $L$ $L'=\bigcup_R R(L)=\textrm{conv}(\bigcup_R R(L))$ $\bigcup_R$ $f(L)\geq f(L') \geq f(L)$ $L$ $K$ ,

— Marco
источник

Было бы достаточно доказать, что для ожидания выпуклой функции. Это кажется простым.

E_{conv (A)} \leq E_{A}

$\mathbb{E}_{\textrm{conv}(A)}\leq \mathbb{E}_{A}$

E_{K ⋃ K^{'}} \leq max {E_{K}, E_{K}^{'}}

$\mathbb{E}_{K\bigcup K'}\leq \max\{\mathbb{E}_K,\mathbb{E}_K'\}$

— Марко

Я не совсем уверен, что получу ваш ответ. Но это определенно неверно, что L можно выбрать как наименьшую сферу, содержащую K. Рассмотрим длинный тонкий цилиндр с размерами длины . Тогда любая сфера содержащая должна иметь . Но если вы построите где U - сфера или радиус примерно вы получите примерно . (где - константы)

d

$d$

t

$t$

S

$S$

K

$K$

f (S) \geq t

$f(S)\geq t$

L = c o n v (K \cup U)

$L=conv(K\cup U)$

c_{1} t / d

$c_1 t/d$

f (L)

$f(L)$

c_{2} t / d

$c_2 t/d$

c_{1}, c_{2}

$c_1,c_2$

— Ashwinkumar BV