Алгоритм поиска подмножества

9

Предположим, у меня есть список подмножеств . Я могу сделать предварительную обработку в этом списке, если это необходимо. После этой предварительной обработки мне предоставляется другой набор . Я хочу , чтобы определить , какие - либо множества с . $\cal X$ $\{1, ..., n\}$ $A \subseteq \{1, ..., n \}$ $B \in \mathcal X$ $B \subseteq A$

Очевидный алгоритм (без какой-либо предварительной обработки) занимает время - вы просто проверяете на каждом отдельно. Есть ли что-нибудь лучше, чем это? $O(n |\cal X|)$ $A$ $B \in \mathcal X$

Если это поможет, вы можете предположить, что для любого общее число совпадений ограничено чем-то вроде . $A$ $B \in \mathcal X$ $O(1)$

ds.algorithms ds.data-structures

— Дэвид Харрис
источник

3

Это не ответ. Это простое, но длительное наблюдение. Надеюсь это будет полезно.

Вариант решения вашей проблемы: содержит ли подмножество ? $\cal X$ $A$

Эта проблема связана с проблемой оценки монотонных булевых функций от переменных. Подмножество эквивалентно битной строке, поэтому семейство эквивалентно булевой функции $n$ $\{1,\ldots,n\}$ $n$ $\cal X$ $f$ от переменных. Для данной функции можно определить наименьшую монотонную функцию, которая не больше , а именно . Исходная задача затем сводится к оценке . И наоборот, проблема оценки монотонной булевой функции может быть сведена к исходной задаче, либо наивно, если взять $n$ $f$ $f$ $g(y)=(\exists x\subseteq y,\,f(x))$ $g(A)$ $f=g$ или выбрав который делает меньше. $f$ $\cal X$

На практике BDD имеют тенденцию работать хорошо. Таким образом, одним из возможных подходов является создание BDD для $f$ , извлечь из него BDD для и затем оценить . Средний размер BDD для должен быть , поскольку существует много монотонных булевых функций . Следовательно, в теории это плохое решение. $g$ $g$ $g$ $\Omega\left(\binom{n}{n/2}\right)$

Но (1) возможен более качественный анализ и (2) могут быть изменения в этом подходе, которые делают его лучше. Например, я никоим образом не использовал корреляцию между размером и размером BDD . (Должна быть корреляция, но я не знаю, является ли она простой или пригодной для использования здесь.) $\cal X$ $g$

Для полноты простой алгоритм для вычисления BDD для из BDD для является следующим. Здесь - стандартная операция or для BDD. $g$ $f$

м (Икс ? е_{1} : е_{0}) знак равно Икс ? (м (е_{0}) \lor м (е_{1})) : м (е_{0})

$m(x?f_1:f_0)=x?(m(f_0)\lor m(f_1)):m(f_0)$

\lor

$\lor$

— Раду ГРИГОРЕ
источник

2

Разве это не более или менее эквивалентно предварительному вычислению ответа для каждого подмножества , кэшированию всех результатов в двоичном дереве размером , а затем поиску правильного результат (за время ), когда вам дают ?

{1, 2, . . ., n}

$\{1,2,...,n\}$

2^{n}

$2^n$

O (n)

$O(n)$

A

$A$

— mjqxxxx

Использование экспоненциального пространства для хранения предварительно обработанных данных звучит для меня как обман, хотя в этом вопросе это не запрещено. Но я могу быть предвзятым к Церкви наихудшего Сложности.

— Tsuyoshi Ito

mjqxxxx и Tsuyoshi: я согласен с вами обоими. Я переписал текст так, чтобы, надеюсь, было более понятно, что я согласен. :)

— Раду GRIGore

3

Возможно, вы можете использовать метод «поиска информации»: на этапе предварительной обработки построить инвертированный индекс (в вашем случае простой $n \times | {\cal X}|$ достаточно двумерного массива), который отображает элемент $x_i \in \{1,...,n\}$ к наборам в $\cal X$ которые содержат это: $inv(x_i)= \{ X_j \in {\cal X} \; | \; x_i \in X_j \}$ ,

Установить целочисленный массив $occ$ длины $|\cal X|$ ,

Тогда для каждого $y_i \in A$ извлекать $inv(y_i)$ и для каждого $X_j \in inv(y_i)$ делать $occ[j] = occ[j]+1$

В конце концов, вам нужны те наборы, для которых $|X_j|=occ[j]$ ,

Вы можете произвольно ускорить процесс (за счет экспоненциального пространства) путем индексации двух или более элементов вместе.

— Марцио де Биаси
источник