Точное решение суперструны

Что известно о точной сложности самой короткой проблемы суперструн? Может ли это быть решено быстрее, чем $O^*(2^n)$ ? Существуют ли известные алгоритмы, которые решают кратчайшую суперструну без сокращения до TSP?

UPD: подавляет полиномиальные факторы.$O^*(\cdot)$

Самая короткая проблема суперструн - это проблема, ответом которой является самая короткая строка, которая содержит каждую строку из заданного набора строк. Речь идет о расширении оптимизации известной NP-сложной задачи Shortest Superstring (Garey and Johnson, p.228).

Предполагая, что строки имеют полином длины от , тогда да, по крайней мере, 2 n - Ω ( $n$время решения. Причина - хорошо известное сокращение от самой короткой общей проблемы суперструн до ATSP с целочисленными весами полиномиального размера, которую вы, в свою очередь, можете решить с помощью полиномиальной интерполяции, если вы можете считать гамильтоновы циклы в ориентированном мультиграфе. Последняя проблема имеет2n-Ω($2^{n-\Omega(\sqrt{n/\log n})}$время решения. Бьорклунд 2012$2^{n-\Omega(\sqrt{n/\log n})}$

Переход от ATSP с весами для каждой пары вершин u , v к гамильтонову циклу происходит следующим образом:$w_{uv}$$u,v$

Для , где w sum - верхняя граница для всех сумм n весовых коэффициентов в экземпляре ATSP, построим один граф G r, где вы заменяете каждый весовой коэффициент w u v на r w u v дуг из у к v .$r=1,2,\cdots,w_\mbox{sum}$$w_\mbox{sum}$$n$$G_r$$w_{uv}$$r^{w_{uv}}$$u$$v$

Решая подсчет гамильтонов цикл для каждого , можно с помощью полиномиальной интерполяции построить многочлен Х ш суммы л = 0 л г л с в л равна числу TSP туров в первоначальном графике веса л . Следовательно, поиск наименьшего l такого, что a l отличен от нуля, решает проблему.$G_r$$\sum_{l=0}^{w_\mbox{sum}} a_lr^l$$a_l$$l$$l$$a_l$

Я изучил проблему и нашел некоторые результаты. Кратчайшая общая суперструна (SCS) может быть решена за время с использованием только полиномиального пространства ( Кон, Готтлиб, Кон ; Карп ; Бакс, Франклин ).$2^n$

Самое известное приближение (Палуч).$2\frac{11}{30}$

Самое известное приближение сжатия составляет (Палуч).$3\over4$

Если SCS может быть аппроксимирован фактором по двоичному алфавиту, то он может быть аппроксимирован фактором α по любому алфавиту ( Василевская-Уильямс ).$\alpha$$\alpha$

SCS не может быть аппроксимирована с отношением лучше, чем если P = NP ( Karpinski, Schmied ).$1.0029$

Максимальное сжатие не может быть аппроксимировано с коэффициентом, превышающим если P = NP ( Karpinski, Schmied ).$1.0048$

Буду благодарен за любые дополнения и предложения.

Вот кратчайшая проблема суперструн: вам дано строк s 1 , … , s n над некоторым алфавитом Σ, и вы хотите найти самую короткую строку над Σ, которая содержит каждый s i как подпоследовательность последовательных символов, то есть подстроку.$n$$s_1,\ldots, s_n$$\Sigma$$\Sigma$$s_i$

Когда мы говорим о точных алгоритмах для задачи, нахождение длины самой короткой суперструны эквивалентно нахождению максимального сжатия C, которое является суммой всех последовательных перекрытий строк в конечной суперструне, то есть C = ∑ i | с я | - L .$L$$C$$C=\sum_i |s_i|-L$

Насколько я знаю, самый быстрый точный алгоритм для самой короткой суперструны работает в ( 2 n ), где n - количество строк. Это простой алгоритм динамического программирования, аналогичный алгоритму динамического программирования для самого длинного пути (и других задач):$O^*$$2^n$$n$

Для каждого подмножества строк и строки v в S мы вычисляем максимальное сжатие по всем суперструнам по S, где v - первая строка, появляющаяся в суперструне, сохраняя ее как C (( v , S )). Мы делаем это, сначала обрабатывая все подмножества только с одним элементом, а затем собирая значения C (( v , S )) для подмножеств S в k строках из тех, что в k - 1 строках. В частности:$S$$v$$S$$S$$v$$v,S$$v,S$$S$$k$$k-1$

Для каждой строки мы рассматриваем все подмножества S ′ на k - 1 строках, которые не включают в себя u, и устанавливаем значение для ( u , u ∪ S ′ ) максимального значения над строками v в S ′ суммы максимума перекрытие U с V с C (( $u$$S'$$k-1$$u$$u,{u}\cup S'$$v$$S'$$u$$v$ )).$v,S'$

Конечное время выполнения не более O ( $n^2 2^n + n^2 l$ ), где - максимальная длина строки.$l$

Есть лучшие алгоритмы, если вы предполагаете, что мало, или попарные наложения малы, размер алфавита маленький и т. Д., Но я не знаю ни одного алгоритма, который быстрее, чем 2 n .$l$$2^n$