Алгоритмы суперполиномиального приближения по времени для MAX 3SAT

Теорема PCP гласит, что для MAX 3SAT не существует алгоритма полиномиального времени, чтобы найти назначение, удовлетворяющее условиям 7/8 выполнимой формулы 3SAT, если только .P = N $7/8+ \epsilon$$P = NP$

Существует тривиальный алгоритм полиномиального времени, который удовлетворяет из пунктов. Итак, можем ли мы добиться большего успеха, чем если мы допустим суперполиномиальные алгоритмы? Какие отношения аппроксимации мы можем достичь с помощью алгоритмов квазиполиномиального времени ( ) или с помощью алгоритмов субэкспоненциального времени ( )? Я ищу ссылки на любые такие алгоритмы.7 / 8 + ε п O ( журнал N ) 2 О ( п $7/8$$7/8+ \epsilon$$n^{O(\log n)}$$2^{o(n)}$

Можно получить приближение 7/8 для MAX3SAT, которое выполняется за времени без особых проблем. Вот идея. Разделите набор переменных на групп по переменных в каждой. Для каждой группы попробуйте все способов назначения переменных в группе. Для каждой приведенной формулы запустите аппроксимацию Karloff и Zwick . Выведите назначение, удовлетворяющее максимальному количеству предложений, из всех этих испытаний.2 O ( ε п ) O ( 1 / ε ) ε п 2 ε п 7 /$7/8+\varepsilon/8$$2^{O(\varepsilon n)}$$O(1/\varepsilon)$$\varepsilon n$$2^{\varepsilon n}$$7/8$

Дело в том, что существует некоторый переменный блок, такой, что оптимальное назначение (ограниченное этим блоком) уже удовлетворяет -размещению максимального числа удовлетворенных предложений. Вы получите правильные эти дополнительные пункты, и вы получите от оставшейся части оптимального, используя Карлоффа и Цвика.7 /$\varepsilon$$7/8$

Это интересный вопрос, можно ли получить времени для одного и того же типа аппроксимации. Существует «Линейная гипотеза PCP», что 3SAT может быть уменьшен за полиномиальное время до MAX3SAT, так что:$2^{O(\varepsilon^2 n)}$

• если экземпляр 3SAT выполним, то экземпляр MAX3SAT полностью выполним,
• если экземпляр 3SAT является неудовлетворительным, то экземпляр MAX3SAT не удовлетворяется 7/8 , и$7/8+\varepsilon$
• уменьшение увеличивает размер формулы только на множитель .$poly(1/\varepsilon)$

Предполагая эту линейную гипотезу PCP, приближение -время 7/8 для всех и повлечет за собой то, что 3SAT находится за времени, для всех . (Здесь - количество предложений.) В доказательстве используется лемма о разрежении Импальяццо, Патури и Зейна. 7 / 8 + ε с ε 2 ε п ε $2^{O(\varepsilon^c m)}$$7/8+\varepsilon$$c$$\varepsilon$$2^{\varepsilon n}$$\varepsilon$$m$

Чтобы немного переформулировать то, что Райан Уильямс написал в своем последнем абзаце:

$T(n) = 2^{n^{1-o(1)}}$$(7/8 + 1/(\log \log n)^{.000001})$$T(n)$$2^{o(n)}$$7/8$