Бесконечно большие, но локально конечные задачи вычислений

Этот вопрос вдохновлен комментарием Юкки Суомела к другому вопросу .

Каковы примеры бесконечно больших, но локально конечных вычислительных задач (и алгоритмов)?

Другими словами, каковы примеры вычислений, которые останавливаются за конечное время, когда каждая машина Тьюринга считывает и обрабатывает только конечные данные, но в целом вычисления решают проблему бесконечного размера, если существует бесконечно много машин Тьюринга, объединенных в сеть?

Просто, чтобы дать некоторые идеи о том, что возможно (но несколько нетривиально), вот один пример: распределенный алгоритм, который находит максимальную реберную упаковку на графе ограниченной степени.

Определение проблемы

Учитывая простой неориентированный граф , в крае упаковку (или дробное соответствие) ассоциирует вес ш ( е ) с каждым ребром х ∈ E такие , что для каждого узел V ∈ V , общий вес ребер , инцидентных v самое большее 1 . Узел насыщается, если общий вес падающих ребер равен 1 . Упаковка ребер максимальна, если все ребра имеют хотя бы одну насыщенную конечную точку (т. Е. Ни один из весов не может быть жадно растянут).$G = (V,E)$$w(e)$$e \in E$$v \in V$$v$$1$$1$

Заметим, что максимальное совпадение определяет максимальную упаковку ребер (множество w ( e ) = 1 тогда и только тогда, когда e ∈ M ); следовательно, это легко решить в классическом централизованном окружении (предполагая, что G конечно).$M \subseteq E$$w(e) = 1$$e \in M$$G$

Крайние упаковки на самом деле имеют некоторые приложения, по крайней мере, если определить приложение в обычном смысле TCS: множество насыщенных узлов образует -приближение минимального покрытия вершин (конечно, это имеет смысл только в случае конечной G ) ,$2$$G$

Модель расчета

Предположим, что существует глобальная постоянная такая, что степень любого v ∈ V не превосходит Δ .$\Delta$$v \in V$$\Delta$

Чтобы сохранить это как можно ближе к духу исходного вопроса, давайте определим модель вычисления следующим образом. Предположим, что каждый узел является машиной Тьюринга, а ребро { u , v } ∈ E является каналом связи между u и v . Вход лента V кодирует степень град ( V ) от V . Для каждого v ∈ V ребра, инцидентные v , помечены (в произвольном порядке) целыми числами 1 , 2 , $v \in V$$\{u,v\} \in E$$u$$v$$v$$\deg(v)$$v$$v \in V$$v$ ; они называютсяметками локальных ребер(метка { u , v } ∈ E может быть разной для u и v ). Машина имеет инструкции, с помощью которых она может отправлять и получать сообщения через каждое из этих ребер; машина может обращаться к своим соседям, используя локальные метки ребер.$1,2,\dotsc,\deg(v)$$\{u,v\} \in E$$u$$v$

Мы требуем, чтобы машина вычислить действительный край упаковки для G . Точнее, каждый v ∈ V должен напечатать на своей выходной ленте кодировку w ( e ) для каждого ребра e, инцидентного v , упорядоченного по меткам локального ребра, и затем остановить.$w$$G$$v \in V$$w(e)$$e$$v$

Мы говорим, что распределенный алгоритм находит максимальную реберную упаковку за время T , если для любого графа G максимальной степени Δ и для любой локальной маркировки ребер G выполняется следующее условие : если мы заменим каждый узел G идентичной копией машину Тьюринга A и запустите машины, затем после шагов T все машины напечатали правильное (глобально согласованное) решение и остановились.$A$$T$$G$$\Delta$$G$$G$$A$$T$

Бесконечность

Теперь все вышесказанное имеет смысл, даже если множество узлов счетно бесконечно.$V$

Формулировка задачи и модель вычисления не имеют ссылок на прямо или косвенно. Длина входа для каждой машины Тьюринга ограничена константой.$|V|$

Что известно

Задача может быть решена за конечное время, даже если бесконечно.$G$

Проблема нетривиальна в том смысле, что необходимо некоторое общение. Кроме того, время работы зависит от . Однако для любого фиксированного Δ проблема может быть решена за постоянное время независимо от размера G ; в частности, задача разрешима на бесконечно больших графах.$\Delta$$\Delta$$G$

Я не проверил, каково самое известное время выполнения в модели, определенной выше (которая не является обычной моделью, используемой в поле). Тем не менее, время выполнения, которое является полиномиальным по должно быть довольно легко достижимым, и я думаю, что время выполнения, которое является сублинейным по Δ , невозможно.$\Delta$$\Delta$

Нахождение следующего поколения сотового автомата .

Это можно решить, как вы описали в постоянное время. $\;$ (т.е. не зависит от ввода)

По сути, каждая задача, которая по меньшей мере так же сложна, как раскраска, требует алгоритма с временем выполнения, зависящим от количества узлов в сети, и, следовательно, не может работать в бесконечном, но локально конечном графе. Это следует из исходного журнала Линиала * n нижней границы.

$AC^0$$AC^0$