Сложность общения с судьей

Предположим структуру в сложности коммуникации, где у нас есть два игрока A (вши) и B (ob) и R (eferee). А и Б не общаются напрямую друг с другом. В каждом раунде общения каждый из них отправляет сообщение ($m_A$, $m_B$) в R.R вычисляет две функции $f_A(m_A,m_B)$ а также $f_B(m_A,m_B)$и отправляет результаты им. Функции фиксированы. Идея в том, что общение между игроками ограничено. Кроме того, судья может выполнить некоторую обработку сообщений.

Пример:

A и B отправляют два (произвольно больших) числа в R, R проверяет, какое из них больше, и информирует игроков.

В этой структуре мы можем разработать простой протокол, который легко вычисляет следующую функцию, используя один раунд. А и Б отправить$x$ а также $y$ для R, R возвращает ответ им, и они выводят ответ.

Очевидно, это не интересный случай, так как вычисляемая нами функция совпадает с функциями рефери. Более интересный случай, когда мы имеем фиксированное линейное неравенство$\vec{a} \cdot \vec{x} \leq \vec{b} \cdot \vec{y}$ и значения для переменных разделены между игроками (А имеет $\vec{x}$ и Б имеет $\vec{y}$). Задача состоит в том, чтобы решить, является ли неравенство правильным. Протокол в этом случае состоит в том, что игроки вычисляют свою часть, а затем отправляют их рефери.

Вопрос:

Был ли изучен этот вид сложности общения? Если да, где я могу найти больше об этом?

примечание 1: на стр. 49 Кушилевиц и Нисан упоминают структуру, в которой участвует рефери, но, похоже, она сильно отличается от того, что я спрашиваю.

примечание 2: я не уверен, что называть R рефери - правильная вещь, пожалуйста, прокомментируйте, если у вас есть лучшее предложение.

Я уверен, что вы знаете следующую статью, но я поместил ссылку на нее, потому что другие читатели могут быть заинтересованы: Интерполяция по играм

Эта статья является попыткой использовать структуру сложности связи, чтобы показать нижние границы для резки плоскостей. Протокол используется для создания интерполяционной схемы для неудовлетворительного CNF:

игрок $A$ получает вход $a$ а также $y^a$, игрок $B$ получает $b$ а также $z^b$, Если в срезанных плоскостях есть мелкое древовидное доказательство, то у двух игроков есть протокол связи, такой что

• любое сообщение опосредовано судьей, что помогает оценить неравенства в доказательстве;
• количество общения невелико (дерево мелкое);
• оба игрока решают, какой из $A$ или $B$ фальсифицирована;
• они находят позицию $i$ в котором $a_i \not= b_i$,

Рефери превращается в вероятностный протокол о неравенствах. Таким образом, можно превратить нижнюю границу для древовидных вероятностных протоколов в структуре сложности связи в нижнюю границу для древовидных доказательств разрезающих плоскостей.

Если бы у нас была нижняя граница для протокола связи в форме PLS, то мы получили бы нижнюю границу для доказательств в виде дагоподобных плоскостей резания.

Обратите внимание, что этот метод не зависит от фактических правил вывода плоскостей резания. Если мы предположим, что правила вывода равны (1) положительной комбинации (2) целочисленное деление с полом, мы можем построить монотонную интерполированную схему, используя аргумент Павла Пудлака .

Просто несколько замечаний. Во-первых, я не совсем понимаю, зачем вообще нужен судья. Если его / ее функция известна игрокам, то почему они не могут просто симулировать рефери? Алиса отправляет$m_A$ Бобу, он (не видя $m_A$) вычисляет $m_B$после этого он вычисляет $f(m_A,m_B)$и сообщает результат Алисе. Возможно, вы предполагаете, что$f_A$это не известно Бобу, и$f_B$ Алисе?

Во-вторых, протоколы, связанные с линейными неравенствами, действительно интересны в контексте доказательства плоских разрезов. В этом случае даже достаточно рассмотреть протоколы, где форма сообщений очень ограничена : могут передаваться только значения некоторых линейных комбинаций входных переменных.

Чтобы быть более точным, предположим, что нам дана система линейных неравенств с целыми коэффициентами. Мы знаем, что система не имеет$0$-$1$решение. Переменные так или иначе поделены между игроками (в пропорции пятьдесят на пятьдесят); это сценарий «худшего раздела»: противник может выбрать «худший» раздел. Учитывая$0$-$1$Строка, цель игроков - найти неудовлетворенное неравенство. То есть ответ теперь не один бит, а название одного неравенства нашей системы. (Это коммуникационная игра типа Карчмера-Вигдерсона.)

Теперь рассмотрим следующие ограниченные протоколы для такой игры: (i) функция рефери, если только $f(\alpha,\beta)=1$ тогда и только тогда $\alpha \leq \beta$(ii) сообщения игроков ограничены линейными : в каждом раунде Алиса должна отправлять сообщение в форме$m_A(\vec{x})=\vec{c}\cdot \vec{x}$и Бобу сообщение в форме $m_B(\vec{y})=\vec{d}\cdot \vec{y}$,

Impagliazzo, Pitassi и Urquhart (1994) наблюдали следующее: если все коэффициенты, использованные в доказательствах плоскости разреза, являются полиномиальными по числу переменных, и если эта игра нуждается$t$ битов связи, то каждое древовидное доказательство неудовлетворенности данной системы должно давать $\exp(t/\log n)$неравенства. Затем они использовали известные нижние оценки сложности связи, чтобы дать явную систему, требующую доказательств экспоненциального размера. Недостаток этого результата в том, что система очень искусственная , она не соответствует «реальной» задаче оптимизации. Поэтому интересно поставить нижнюю оценку для «реальных» задач оптимизации.

Одной из таких проблем является проблема независимых множеств для графов. Учитывая график $G=(V,E)$ мы можем связать с каждой вершиной $u$ Переменная $x_u$ и рассмотрим систему неравенств, состоящую из неравенства $\sum_{v\in V}x_v>\alpha(G)$и все неравенства $x_u+x_v\leq 1$ для всех краев $uv$ из $G$, Так как каждый$0$-$1$ Решение для подсистемы этих последних неравенств дает независимое множество в $G$вся система не имеет нулевых решений. Какова коммуникационная сложность игр для таких систем?

Если наш график $=(L\cup R,E)$ является двудольным, то естественно (для противника) разделить переменные по частям. В этом случае Алиса получает подмножество$A\subseteq L$Боб подмножество $B\subseteq R$ с обещанием, что $|A\cup B|>\alpha(G)$, Цель состоит в том, чтобы найти грань между $A$ а также $B$, Вот$\alpha(G)$ является «двудольным» числом независимости: максимальный размер независимого множества, не лежащего полностью в $L$ или в $R$, Одна из моих любимых проблем: докажи, что$n\times n$ графики, требующие $\omega(\log^2 n)$биты общения существуют .

@Kaveh: Извините за «ответ» на ваш вопрос с вопросами.