«Направленные» проблемы, которые легче, чем их «ненаправленные» варианты.

28

Я читал лекцию по сортировке блинов и сказал, что:

Что заставило меня задуматься. В некотором смысле «подписанная» сортировка является «направленной» - вы можете рассматривать знак как направление (и действительно, это мотивация эволюционной биологии). Но это более простая проблема! Это необычно, потому что обычно (по крайней мере, на графиках) направленные проблемы сложнее (или, по крайней мере, так же сложно), как и их ненаправленные аналоги.

Принимая щедрое определение «направленного», есть ли примеры направленных проблем, которые легче, чем их неориентированные аналоги?

ds.algorithms

— Суреш Венкат
источник

2

Вы можете рассматривать Horn 3SAT (каждое предложение может быть представлено как (A и B) C) как направленные предложения, поскольку они могут рассматриваться как последствия. Итак, здесь направленный случай прост, а ненаправленный 3SAT сложен.

\to

$\to$

— Мухаммед Аль-Туркистани

1

Я задавался вопросом, похожий вопрос для класса, который я преподавал (где мы использовали LP для аппроксимации решения IP): есть ли класс проблем, где найти целочисленное решение было проще, чем найти рациональное решение

— Gopi

17

Подсчет эйлеровых схем для ориентированных графов выполним за полиномиальное время с использованием теоремы BEST , в то время как, по-видимому, та же проблема для неориентированных графов является # P-полной .

— Тимоти Сан
источник

Все ответы великолепны, но если я должен принять один, это так, потому что разрыв большой, а проблема очень чистая.

— Суреш Венкат

15

Интересный и не очень известный случай заключается в следующем. Предположим, у нас есть гранично-взвешенный граф и корневой узел . Мы хотим, чтобы подграф минимальной стоимости таким, чтобы было непересекающихся с ребром путей от до каждого узла графа. Когда это проблема минимальной себестоимости в ориентированных графах и в неориентированных графах, она эквивалентна проблеме MST. Оба разрешимы в многократном времени, хотя ненаправленный случай легче. Однако эта проблема разрешима по времени в ориентированных графах для любого то время как в неориентированных графах она NP-Hard для (так как она захватывает минимальную стоимость $G$ $r$ $G$ $k$ $r$ $k=1$ $k$ $k=2$ $2$ -подключенная задача подграфа).

— Чандра Чекури
источник

13

Возможно, это не лучший пример, но рассмотрим (Направленное) покрытие циклов, где задача состоит в том, чтобы покрыть все вершины непересекающимися (направленными) циклами. В прямом случае это можно свести к двухстороннему сопоставлению и решить за полиномиальное время. В неориентированном случае проблема может быть сведена к не двудольному сопоставлению (и наоборот), что является более сложной проблемой, но все еще решаемой за полиномиальное время.

— Даниэль Маркс
источник

10

Более впечатляющий подобный пример следующий: пусть - ориентированный взвешенный граф (веса могут быть отрицательными). Мы можем проверить, существует ли отрицательный цикл в используя алгоритм Форда-Беллмана. Но если является ненаправленным, то проблема становится намного сложнее (но все же решаемой за многократное время).

G

$G$

G

$G$

G

$G$

— Ильяраз

Это, безусловно, хороший пример и соответствует тому, о чем я думал, когда задавал вопрос.

— Суреш Венкат

2

У меня всегда было впечатление, что «проблемы, связанные с циклами» проще на ориентированных графах. Возможно, в этом есть какой-то принцип, например, что 2-соединенные компоненты имеют «меньшую структуру», чем сильно связанные компоненты («проблемы, связанные с циклами» = проблемы, которые можно решить, если рассматривать каждый компонент отдельно).

— Диего де Эстрада

3

Диего: если направленное замкнутое блуждание проходит через вершину v, то существует v направленный цикл, проходящий через v. Аналогичное утверждение неверно для неориентированных графов. Таким образом, в ориентированных графах часто мы можем рассуждать о блужданиях вместо циклов. Прогулки более устойчивы и менее теоретичны, чем циклы, что может быть преимуществом. Может быть, это формальное объяснение вашего впечатления.

— Даниэль Маркс

9

Вот проблема, которая, как я недавно понял, на неориентированных графах выглядит сложнее, чем на ориентированных.

Предположим, у вас есть график с положительным и отрицательным весом ребер, и вас просят обнаружить отрицательный весовой цикл. Существует алгоритм масштабирования для этой задачи для ориентированных графов Гольдберга'93 (А.В. Гольдберг. 1993. Алгоритмы масштабирования для задачи кратчайших путей. В SODA '93.), Выполняемые за время O ( ) где - количество ребер, - число вершин, а - наибольшее абсолютное значение веса ребра. Напротив, та же проблема в неориентированных графах имеет гораздо худшие алгоритмы. Насколько мне известно, наиболее известным является Габов'83 (HN Gabow. 1983. Эффективный метод сокращения для проблемных подграфов и двунаправленных проблем сетевого потока. В STOC '83.) И работает в O (min ( $m\sqrt{n}\log C$ $m$ $n$ $C$ $n^3, mn\log n$ )) время. Есть также подход, использующий T-соединения, который дает то же самое время выполнения, я не помню, где я видел это как бы то ни было.

Проблема отрицательного цикла является критической при разработке алгоритмов SSSP с одним источником, и неудивительно, что лучшие времена выполнения SSSP в ориентированных и ненаправленных графах с произвольными весами имеют одинаковое время выполнения - O ( ) и O (min ( )) соответственно. $m\sqrt{n}\log C$ $n^3, mn\log n$

— Virgi
источник

но здесь «жесткий» означает просто (относительно) полиномиальных сред выполнения алгоритмов, которые мы знаем; может быть, мы

— упускаем

2

Это еще один интересный пример. И ps поздравляю с удивительным новым результатом.

— Суреш Венкат

1

Спасибо, Суреш! С другой стороны, я только что заметил, что у Ильяраза был мой ответ в комментарии к ответу Даниэля Маркса ... извините за дубликат.

— Дева