Прибавление разложения дерева минимальной ширины за полиномиальное время

Как известно, древовидная декомпозиция графа состоит из дерева со связанным мешком для каждой вершины , которое удовлетворяет следующим условиям: $G$ $T$ $T_v \subseteq V(G)$ $v \in V(T)$

Каждая вершина происходит в некотором мешке . $G$ $T$
Для каждого края есть сумка, содержащая обе конечные точки края. $G$
Для каждой вершины , мешки , содержащие вызывают связное поддерево . $v \in V(G)$ $v$ $T$

Мы также можем потребовать следующее условие, называемое худобой , от нашего разложения:

Для каждой пары сумок , of , если и с , то либо a) существует непересекающихся вершин путей в , либо b) дерево содержит ребро на пути от узла к узлу такое что $T_a$ $T_b$ $T$ $A \subseteq T_a$ $B \subseteq T_b$ $|A| = |B| = k$ $k$ $A-B$ $G$ $T$ $pq$ $a$ $b$ и множество пересекает все пути в . $|V(T_p) \cap V(T_q)| \leq k$ $V(T_p) \cap V(T_q)$ $A-B$ $G$

Робин Томас показал, что всегда есть разложение дерева минимальной ширины, которое также является скудным, и более простые доказательства этого факта были предоставлены несколькими авторами, например Патриком Белленбаумом и Рейнхардом Дистелем .

Что меня интересует, так это следующее: учитывая граф и разложение дерева минимальной ширины , можем ли мы найти разложение худого дерева минимальной ширины за полиномиальное время? $G$ $G$ $G$

Два упомянутых доказательства не дают такой эффективной конструктивности. В работе Bellenbaum и Diestel упоминается, что «Другое (более конструктивное) краткое доказательство теоремы Томаса было дано в P. Bellenbaum, Schlanke Baumzerlegungen von Graphen, Diplomarbeit, Universitat Hamburg 2000». Увы, я не смог найти рукопись в Интернете, и мой немецкий не настолько хорош.

— Барт Янсен
источник

Хороший вопрос Найти декомпозицию дерева минимальной ширины - это NP-Hard, поэтому ваша проблема несколько некорректна (кажется). Я предполагаю, что можно задать это для ограниченного случая длины дерева или в смысле приближения.

— Чандра Чекури

Но в его случае ему дана декомпозиция дерева минимальной ширины, и он хочет алгоритм, чтобы сделать его стройным.

— Суреш Венкат

@SureshVenkat: я понимаю, что ему дают разложение дерева минимальной ширины, но как вы можете даже убедиться, что оно верно? Кроме того, декомпозиция на основе бережливого дерева локально адаптируется к ширине дерева различных частей графа, поэтому оптимальная декомпозиция дерева глобального графа не избавляет от проблемы нахождения ширины дерева локальных кусков, что сложно.

— Чандра Чекури

Гладкие разбиения дерева (где все мешки имеют одинаковый размер, а два смежных мешка отличаются ровно на одну вершину) гораздо проще обрабатывать, чем обычные разбиения дерева, и легко видеть, что всегда есть разложение дерева минимальной ширины, которое является гладким , Так что, возможно, вы можете получить эффективную конструкцию, ограничив одну из известных конструкций этими. Всегда ли существует разложение дерева минимальной ширины, которое является гладким и скудным?

— Диего де Эстрада

@ChandraChekuri Я предполагаю, что проблема проверки исчезнет, если вы сформулируете ее как проблему обещания, но я вижу вашу точку зрения о том, что разложение по одному дереву не обязательно даст вам достаточно информации для адаптации. Но следующий вопрос может быть правдоподобным: есть ли способ «локально» изменить разложение данного дерева, чтобы оно «наклонилось» без увеличения ширины дерева?

— Суреш Венкат

Вот формальная причина, по которой проблема не решается за многократное время, если P = NP. Мы знаем, что нахождение ширины дерева данного графа является NP-Hard. Для данного графа мы можем добавить непересекающуюся клику размера чтобы создать новый граф . A Минимальная шириной дерева-разложение может быть получено следующим образом : он имеет два узла с одного мешком , содержащего все узлы клики , а другие , содержащие все узлы . Теперь делая это дерево-разложение мяса потребовало бы найти разложение обедненных дерева исходного графа , который бы, в качестве побочного продукта, получая древесную ширину от . $G$ $V(G)+1$ $G'$ $G'$ $G$ $G$ $G$

— Чандра Чекури
источник

Хорошая точка зрения. Знаете ли вы, что-нибудь известно о параметризованных и / или умеренно экспоненциальных алгоритмах времени для нахождения разложения по бережному дереву?

— Барт Янсен